%LaTeX2e-документ.
%О неустойчивости вложенных собственных значений волновода к
%вещественным возмущениям его заполнения.
%Статья для ДРАН.
%Последняя правка 13 марта 2002 года.
%Вновь исправленный вариант 1 апреля 2002 года.
%Представлена к опубликованию акад. В.А. Ильиным 3 апреля 2002 года.

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russianb]{babel}
\usepackage[unicode=true, pdfstartview=FitH]{hyperref}
%Информация для свойств pdf-файла:
\hypersetup{pdfpagemode=none, pdftitle={О неустойчивости вложенных
в непрерывный спектр собственных значений волновода по отношению к
возмущениям его заполнения}, pdfsubject={Статья для Докл. РАН},
%pdfkeywords={},
pdfauthor={Malykh M.D.},
%baseurl={http://afrodita.phys.msu.su/study/malyh/}
}

\usepackage[centertags]{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{newlfont}
%Подключение графического пакета
\usepackage{tikz}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage[pdftex]{graphicx}


%Машинописная страница A4:
\setlength{\textheight}{24cm} \setlength{\textwidth}{16.5cm}
\setlength{\hoffset}{-1cm} \setlength{\voffset}{-2.5cm}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
\sloppy

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{Anm}{Замечание}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Def}{Определение}
\newtheorem*{Deff}{Определение}
\newtheorem{Theorem}{Теорема}
\newtheorem{zB}{Пример}
\newtheorem*{Satz}{Теорема}
\newtheorem{Folderung}{Следствие}
%\renewcommand{\proofname}{Доказательство}

%Мат. символы:
\def\r{\scshape}
\def\g{\mathfrak}
\def\bb{\mathbb}
\def\L2{{L}^2}
\def\phi{\varphi}
\def\epsilon{\varepsilon}
\def\No{\symbol{242}}
\newcommand{\W}[1]{\overset{\mathrm{o}}{W}\, \! ^1_2({#1})}
\newcommand{\V}[1]{\overset{\mathrm{o}}{W}\, \! ^1_{2, \: \mbox{
loc}}({#1})}
\newcommand{\overcirc}[1]{{\overset{o}{\rm #1}}\, \!}
%\renewcommand{\exp}[1]{{\rm exp}\left ( #1 \right)}
\def\WW{\mbox{W}^1_2}
\def\Im{\mbox{\rm Im} \;}
\def\Supp{\mbox{\rm Supp} \:}
\def\supp{\mbox{\rm Supp} \:}

%Текст статьи.
\begin{document} \large
\title{
%\vspace{3 cm}
\begin{flushright} \small
\underline{Докл. РАН. {\bf 385} (2002), №~6, c.~744-746.}
\end{flushright}
\begin{flushleft} \large \emph{УДК} 517.958; 621.372.8 \end{flushleft}
О неустойчивости вложенных в непрерывный спектр собственных
значений волновода по отношению к возмущениям его
заполнения.\footnote{Работа выполнена при финансовой поддержке
РФФИ (коды 02-01-00271, 00-01-00111) и программы "Университеты
России" (код УР.02.03.010)}}
\author{А. Н. Боголюбов, М. Д. Малых, А. Г. Свешников.}
\date{119992, ГПС-2, Москва, Воробьевы горы, МГУ, физич. ф-т;
\href{mailto:malykham@mtu-net.ru}{\texttt{malykham@mtu-net.ru}}\\
Представлена акад. В.А. Ильиным 3 апреля 2002 года.}\maketitle

%Аннотация
\renewcommand{\abstractname}{}
\begin{abstract}
Рассмотрены погруженные в непрерывный спектр собственные значения
спектральных задач для волновода с заполнением.
Указан критерий существования бесконечной последовательности
собственных значений для заполнений типа ''вставки''.
Показано, что вложенные в непрерывный спектр собственные значения
исчезают  при малом вещественном возмущении заполнения.
\end{abstract}

Хотя к настоящему моменту известны примеры волноведущих систем,
обладающих вложенными в непрерывный спектр собственными
значениями, необходимые условия появления вложенных мод остаются
неясными. Поэтому, как отмечалось в \cite{Par}, целесообразно
изучить, сохранятся ли эти моды при  малых возмущениях параметров
волноведущих систем, обладающих ловушечными модами.

Рассмотрим в волноводе
$
\Omega = \left \{ x \in \bb R^1, y \in S \right \}
$
c сечением $S$, представляющим собой односвязную конечную область в
пространстве $\bb R^1$ или $\bb R^2$, задачу на собственные значения:
\begin{equation}
\label{eq1}
\left \{
\begin{array}{l}
{\Delta u + e q(x,y) u = 0 \quad (x,y) \in \Omega,} \\
{\left. u \right |_{\partial \Omega } = 0, }\\
{u \in \W{\Omega}. }  \\
\end{array} \right .
\end{equation}
Фигурирующая здесь функция $q(x,y)$ характеризует заполнение
волновода; будем считать, что волновод заполнен локально
нерегулярно, то есть что $q(x,y)$ --- кусочно-непрерывная функция
и $\supp [q(x,y)-1] \equiv \Omega'$
--- конечная область, и что в волноводе отсутствует затухание, то есть
что $q$ --- вещественная функция.

Весьма распространенным на практике является случай, когда в полый
волновод $\Omega$, заполненный однородным веществом
с $q = 1$, перпендикулярно к
оси $Ох$ вставлена одна или несколько пластин с различными $q \not =
1$, то есть $q(x,y)$ является кусочно-непрерывной функцией только
одного переменного $x$. В этом случае удается доказать существование
бесконечной последовательности собственных значений у задачи
\eqref{eq1}, более точно:
\begin{Theorem} \label{tth1}
Пусть $\alpha_n^2$ --- собственные значения задачи Дирихле на сечении
$S$, а $\psi_n$ --- соответствующие им собственные функции.
Если $1 \leq q_0(x) \leq Q$, то у задачи
\begin{equation}
\label{00}
\left \{
\begin{array}{l}
{\Delta u + e q_0(x) u = 0 \quad (x,y) \in \Omega,} \\
{\left. u \right |_{\partial \Omega } = 0, }\\
{u \in \W{\Omega} }  \\
\end{array} \right .
\end{equation}
при любом $n = 1, 2, \dots  $ найдется собственное значение $e^{(n)}$,
лежащее на интервале $(\frac{\alpha^2_n}{Q}, \: \alpha^2_n)$, которому
отвечает собственная функция  вида $u_n(x) \psi_n(y)$.
\end{Theorem}

\begin{Anm} \rm
На существование бесконечной последовательности собственных значений у
волновода с заполнением типа вставки было указано в \cite{Wurst}. В
\cite{AbhIII} были получены упомянутые выше оценки и для ряда
заполнений типа вставки вычислены собственные значения.
\end{Anm}

Эта теорема означает в частности, что при достаточно малых $q-1$ уже
собственное значение $e^{(2)}$ задачи \eqref{00} лежит выше
$\alpha^2_1$, поэтому волновод обладает собственной функцией вида
$
u_0(x,y)=u_2(x) \psi_2(y),
$
отвечающей собственному значению волновода $e^{(2)} > \alpha^2_1$, то
есть вложенному в непрерывный спектр.
Выясним теперь, сохраниться ли оно, если мы возмутим это
заполнение
\[
q(x,y) = q_0(x) + \varepsilon q_1(x,y),
\]
где $q_1$ --- вещественная функция, а $\varepsilon$ характеризует
малость возмущения.

Как показано в \cite{AbhIX}, в достаточно малой окрестности
однократного собственного значения $e_0$ невозмущенной задачи
\eqref{00} может существовать не более одного собственного значения
$e(\varepsilon)$ возмущенной задачи \eqref{eq1}. Кроме того, если это
собственное значение существует, то оно и соответствующая ему
собственная функция $u(x,y;\epsilon)$ являются аналитическими функциями
от $\epsilon$, регулярными в нуле.

Для доказательства следует воспользоваться резольвентой регулярного
волновода, явное выражение которой имеет вид
\[
R_0(e)v =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{i}{2 \sqrt{e -\alpha_n^2}}
\int \limits_{\Omega}d\xi d \eta e^{i \sqrt{e -\alpha_n^2} |x-\xi|}
\psi_n(\eta)\psi_n (y) \; v(\xi, \eta)
\]
и отображает $L^2(\Omega')$ в $\V{\Omega}$. Сделав в \eqref{eq1}
подстановку $u = R_0 (e ) v$, получим для $v$  интегральное уравнение
\begin{equation}
\label{A} v - \g A(e,\epsilon) v = 0, \quad \mbox{где} \quad  \g
A(e,\epsilon)=- e (q(x,y;\epsilon)-1) R_0 (e).
\end{equation}
Поскольку $\supp q-1$ --- ограничен, оператор $\g A(e,\epsilon)$
является компактной оператор-функцией, голоморфной на римановой
поверхности $\g f$ с точками ветвления $\alpha^2_n$.
Эта процедура сведения исходной задачи к интегральному уравнению
является модификацией процедуры, предложенной в \cite{Sh}, однако ее
проще обосновать в случае, когда речь идет об обобщенных решениях.

Как показано в \cite{AbhIX}, множество собственных значений
оператор-функции $\g A(e,\epsilon)$, лежащих на главном листе (на
котором все корни $\sqrt{e -\alpha_n^2}$ имеют главные значения),
совпадает с множеством всех собственных значений задачи \eqref{eq1}.
Если при $q=q_0$, оператор $\g A$ имеет однократное собственное
значение $e_0$, то в достаточно малой его окрестности существует
единственное собственное значение $e(\epsilon)$, зависящее от
$\epsilon$ аналитически.

Если $e_0$ --- изолированное однократное собственное значение задачи
\eqref{00}, то оно является однократным собственным значением оператора
$\g A(e,0)$, лежащим внутри главного листа, а следовательно, в
достаточно малой окрестности $e_0$ лежит единственное собственное
значение $e(\epsilon)$ оператора $\g A(e, \epsilon)$. Поскольку малая
окрестности $e_0$ лежит на главном листе, $e(\epsilon)$ ---
единственное возмущенное собственное значение задачи \eqref{eq1} c
возмущенным заполнением, стремящиеся к $e_0$ при $\epsilon
\longrightarrow 0$.

Однако, если $e_0$ --- вложенное в непрерывный спектр собственное
значение задачи \eqref{00}, то оно является собственным значением
оператора $\g A(e,0)$, лежащим на границе  главного листа.
Поэтому хотя  в достаточно малой окрестности $e_0$ лежит единственное
собственное значение $e(\epsilon)$ оператора $\g A(e, \epsilon)$, это
собственное значение может и не лежит на главном листе и значит, не
быть собственным значением \eqref{eq1} c возмущенным заполнением. Это
означает, что может существовать не более одного собственного значения
возмущенной задачи \eqref{eq1}, стремящегося к $e_0$ при $\epsilon
\longrightarrow 0$. При этом, если оно существует, то оно совпадет с
соответствующим собственным значением оператора $\g A(e, \epsilon) $, и
следовательно, зависит от $\epsilon$ аналитически, как и утверждалось
выше.

Предположим теперь, что при любом $q_1(x,y)$ в окрестности собственного
значения $e_0 \equiv e^{(2)} $ существует собственное значение
возмущенной задачи \eqref{eq1}. Тогда это собственное значение и
соответствующую ему собственную функцию можно разложить в ряды:
\[
e(\varepsilon)=e_0 + e_1 \varepsilon + \dots, \quad u(x,y;\varepsilon)=
u_2(x)\psi_2(y) + \varepsilon u_1(x,y) + \dots \; .
\]
Умножив \eqref{eq1} на $\psi_1(y)$ и проинтегрировав по всему
сечению $S$, получим
\[
\frac{d^2 }{dx^2} \int \limits_{S} dy u(x,y) \psi_1(y)
 + e \int \limits_{S} dy \: q(x,y) u(x,y) \psi_1(y)
 = \alpha^2_1 \int \limits_{S} dy u(x,y) \psi_1(y) .
\]
Подставим сюда ряды для $e(\varepsilon)$ и $u(\varepsilon)$, тогда в
первом порядке теории возмущений, обозначив
\[
\int \limits_{S} dy u(x,y)_1 \psi_1(y)= u_{1,1}(x),
\]
получим
\[
\frac{d^2 u_{1,1}}{dx^2} + [e_0 q_0(x)  - \alpha^2_1 ] u_{1,1} = e_0
 u_2(x)\int \limits_{S}dy \: q_1(x,y) \psi_1(y)\psi_2(y).
\]
Для того чтобы $u(x,y;\varepsilon)$ принадлежало $L^2$, необходимо,
чтобы и $u_{1,1}(x)$ принадлежала $L^2(\bb R^1)$. Поскольку   носитель
возмущенного заполнения $q(x,y)-1$ ограничен, это уравнение имеет
решение, принадлежащее пространству $L^2$, лишь при весьма специальных
условиях на $q_1(x,y)$. Тем самым доказано следующее. (Cp.
\cite{AbhVI}.)

\begin{Theorem}
Существуют такие кусочно-непрерывные вещественные возмущения $q_1(x,y)$
исходного заполнения $q_0(x)$, что в окрестности невозмущенного
собственного значения нет возмущенных собственных значений.
\end{Theorem}

Более того, из доказательства видно, что собственное значение $e_0 =
e^{(n)}$, отвечающее собственное функции $u_0(x,y) = u_2(x) \psi_2(y)$,
устойчиво лишь к тем возмущениям, при которых уравнение
\begin{equation}
\label{w}
\frac{d^2 w}{dx^2} + [e_0 q_0(x)  - \alpha^2_1 ] w = e_0
 u_2(x)\int \limits_{S}dy \: q_1(x,y) \psi_1(y)\psi_2(y)
\end{equation}
имеет решение из $L^2(\bb R^1)$.

Простейшим примером, иллюстрирующим данное утверждение, является
случай, когда
\[
\Omega = \{ x \in \bb R^1, \quad y \in [0, \; +\pi] \},
\quad
\Omega' = \{ x \in [-1,1], \quad y \in [0, \; +\pi] \}
%\Omega' = [-1,1] \times [0, \; +\pi]
\]
и
\[
q_0\left( {x} \right) = \left\{ {\begin{array}{l}
 {q_0,\quad x \in \left( { - 1, + 1} \right)} \\
 {1} \\
 \end{array}}  \right. .
\]
Легко показать, что в этом случае наименьшее из собственных значений,
собственные функции которых  имеют вид $u_2(x)\psi_2(x)$, исчезает при
возмущении вида
\begin{equation}
\label{q1}
q_1(x,y) = \left\{ {\begin{array}{l}
 { \frac{\psi_2(y)}{\psi_1(y)} \sin{\sqrt{e_0 q_0 - \alpha^2_1} (x \pm
1)} \cos{\sqrt{\alpha^2_2- e_0 q_0} x},
\quad |x | < 1
%\in \left( { - 1, + 1} \right)
} \\
 {1} \\
 \end{array}}  \right.
\end{equation}
если оно вложено в непрерывный спектр.

Основной смысл доказанной теоремы заключается в том, что вложенные в
непрерывный спектр собственные значения неустойчивы к малым
возмущениям заполнения волновода. Это свойство является довольно
неожиданным, поскольку обычно собственное значение исчезает лишь при
возмущении заполнения комплексной добавкой, то есть при введении
затухания.


\renewcommand{\refname}{Литература}
\makeatletter
\renewcommand{\@biblabel}[1]{#1.}
\makeatother
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Par} {\r Davies E.B. and Parnovski L.}
Trapped modes in acoustic waveguides.
//\href{http://citeseer.ist.psu.edu/94314.html}{Quart. J. Mech.
Appl. Math., V. 51 (1998). P. 477--492.}

\bibitem{Wurst} {\r Делицын А.Л.} Спектральные свойства задачи о
нерегулярном волноводе.
//\href{http://www.phys.msu.ru/rus/research/vmuphys/archive/issues-2001/no3/01-3-75.pdf}
{~Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2001. №~3. C.~75-76.}
\bibitem{AbhIII} {\r Боголюбов~А.Н., Делицын~А.Л., Малых~М.Д.}
О вещественных резонансах в волноводе с неоднородным заполнением.
//~Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2001. №~5. C.~23-25.

\bibitem{AbhIX} {\r Боголюбов А.Н., Малых М.Д.}
Теория возмущений для вложенных собственных значений волновода.
//\href{http://jre.cplire.ru}
{~Журнал радиоэлектроники. 2002. №~2.}

\bibitem{Sh} {\r Шестопалов В.П. }
Спектральная теория и возбуждение открытых структур. М.: Наука, 1987.

\bibitem{AbhVI} {\r Малых М.Д. }
О поведении вложенных в непрерывный спектр собственных значений
при изменении заполнения волновода.
//~Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 2002. №~1. C.~61-62.

\end{thebibliography}


\end{document}
