% Версия, отсланная в Записки ПОМИ 11 сент. 2014
% Внесены исправления в дек. 2014. 
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textheight 24 true cm
\textwidth 16.5 true cm
\hoffset -10 true mm
\voffset -25 true mm
\unitlength=1mm
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
\sloppy

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{misccorr}
\frenchspacing
\usepackage[pdfpagemode=UseNone, unicode=true, pdfstartview=FitH]{hyperref}

\usepackage[centertags]{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\def\g{\mathfrak}
\def\bb{\mathbb}
\def\r{\em }
\def\phi{\varphi}
\def\Phi{\varPhi}
\def\epsilon{\varepsilon}
\newcommand{\subs}[1]{.\operatorname{subs}\left({#1}\right)}
\def\coef{\operatorname{coef}}
\def\Al{\operatorname{Al}}
\def\Dom{\operatorname{Dom}}

%Информация для свойств pdf-файла:
\hypersetup{%
pdftitle={Об интегрировании дифференциальных уравнений в абелевых функциях: алгебраические идеи в работах Поля Пенлеве},%
pdfauthor={Малых М.Д., 2013},%
pdfsubject={Статья},%
pdfkeywords={Математическая физика}%
}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{Anm}{\bf Замечание}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Ass}{\bf Требование}
\newtheorem{Def}{\bf Определение}
\newtheorem{Theorem}{\bf Теорема}
\newtheorem{Lemma}{\bf Лемма}
\newtheorem{Problem}{\bf Задача}
\newtheorem{Th}{\bf Утверждение}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{example}{\bf Пример}[section]

\begin{document} \large

\title{О трансцендентных функциях, возникающих при интегрировании дифференциальных уравнений в конечном виде}
\author{М.Д. Малых}
\date{Версия от \today} 
\maketitle

\begin{abstract}
Предложен вариант такой теории Галуа для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой не фиксируется список допустимых трансцендентных операций. Доказана теорема, согласно которой поле интегралов системы дифференциальных уравнений эквивалентно полю рациональных функций на гиперповерхности, допускающей непрерывную группу бирациональных автоморфизмов, размерность которой совпадает с числом алгебраически независимых трансцендент, вводимых интегрированием системы. 

Предложенное построение является развитием алгебраических идей, изложенных Полем Пенлеве в его Стокгольмских лекциях.  
\end{abstract}

\tableofcontents

\section{Введение}

Понятие разрешимости в конечном виде относится к числу тех темных понятий, которые, как принято считать, сложились исторически и являются предметом договора, см., напр.,  \cite{Adlaj}. Так при решении геометрических задач на построение фиксируют набор инструментов и правила работы с ними, при исследовании алгебраических уравнений в рамках теории Галуа желают выразить решение при помощи нескольких радикалов, в теории дифференциальных уравнений желают выразить общее решение или интеграл при помощи лиувилливых функций, то есть дозволяют не только алгебраические операции, но и вычисления квадратур и экспонент, причем между существованием лиувиллева интеграла и решения имеется весьма нетривиальная связь \cite{Singer-1},\cite{Singer-2}. 

На практике, при решении нелинейных дифференциальных уравнений средствами систем компьютерной алгебры, прибегают к иным соображениям. В основу работы первого компьютерного солвера дифференциальных уравнений, написанного Мозесом в начале 1960-х годов \cite{Moses}, было положено след. элементарное наблюдение: выяснить, имеет ли заданное дифференциальное уравнение
\[
p(x,y)dx+q(x,y)dy=0
\] 
интегрирующий множитель вида $\mu(x)$ или $\mu(y)$ можно за конечное число шагов, если закрыть глаза на проблемы с упрощением выражений. При этом, если система допускает множитель такого вида, то он является лиувиллиевой функцией аргумента. В Maple для  интегрирования дифференциальных уравнений используются специальные классы групп, для которых можно за конечное число шагов выяснить, обладает ли заданное дифференциальное уравнение  группой  симметрий этого класса и вычислить ее инфинитезимальный оператор \cite{Terrab-0}-\cite{Cheb-Terrab}. Мощь Maple в решении дифференциальных уравнений 1-го порядка объясняется в значительной мере тем, что 78\% примеров из справочника Камкэ допускают линейные группы симметрий \cite{Cheb-Terrab}. При этом опять инфинитезимальный оператор выражается в лиувиллиевых функциях, хотя изначально это не предполагается. 

Нельзя не заметить также, что набор инструментов, используемых для геометрических построений, и правила их применения менялись со временем, \cite{Morduhaj}, прим. 33, а список трансцендентных функций, находящиеся в постоянном употребление, напротив, сложился еще во времена Гаусса и с тех пор не претерпел сколько-нибудь заметных изменений. Употребляя, скажем, трансцендентные Пенлеве, мы вполне ощущаем, что переходим некоторую границу. Можно ли указать свойство, характеризующее общеупотребительные функции как математический, а не социокультурный феномен? Иными словами, можно ли построить версию дифференциальной теории Галуа для нелинейных дифференциальных уравнений, в которой список допустимых операций не постулировался бы изначально? 

Все общеупотребительные  функции являются мероморфными решениями дифференциальных уравнений. Лазарус Фукс предложил отыскать все дифференциальные уравнения, общее решение которых не имеет подвижных особых точек за исключением, быть может, полюсов; теперь это свойство дифференциального уравнения называют свойством Пенлеве \cite{Kudryashov},\cite{Its}, \cite{Sobolevski}. Уравнения первого порядка, обладающие этим свойством, или сводится к линейному уравнению второго порядка, или к решаются в элементарных или эллиптических функциях \cite{Golubev}, гл. 2. Однако Пенлеве \cite{Golubev}, гл. 3, обнаружил, что среди дифференциальных уравнений второго порядка, обладающих названным в его честь свойством, есть и те, которые ведут к совершенно новым трансцендентным функциям  и потому это свойство не может быть использовано для выделения класса общеупотребительных функций.  

В нач. XX века такое радикальное расширение класса общеупотребительных функций было воспринято с большим энтузиазмом, о чем свидетельствует, напр., обстоятельные пояснения, данные к выбору тем 6-ого конкурса на премию Лобачевского 1912 года \cite{Parfentiev}. Этим, вероятно, и следует объяснить отсутствие интереса к другим, чисто алгебраическим идеям, высказанным в знаменитых Стокгольмских лекциях Пенлеве \cite{Painleve}. Дело в том, что общее решения дифференциальных уравнений, разрешимых в общеупотребительных функциях, являются не только мероморфными функциями независимой переменной, но и алгебраическими функциями констант. Пенлеве удалось обратить это утверждение для уравнений 1-го и 2-го порядков. Кратко доказанное там утверждение можно сформулировать так: если общее решение зависит от констант интегрирования алгебраически, то интегрирование этих уравнений не выходит за пределы общеупотребительных функций, если к ним прибавить еще абелевы функции. 

Более развернуто: уравнение 1-го порядка, общее решение которого зависит алгебраически от надлежащим образом выбранной константы, алгебраической заменой сводится к уравнению 1-го порядка, обладающему свойством Пенлеве. Мы не будем приводить здесь оригинальных формулировок, поскольку, к сожалению, и в статье \cite{Painleve-1890}, и в Лекциях изложению придана чрезмерная общность, которая была отмечена и исправлена много позже в Приложении, написанном Пенлеве для сочинения Бутру \cite{Boutrou}. Рассмотрение уравнения 2-го порядка в Лекциях разбито на два этапа. Сначала доказывается, что любое такое уравнение алгебраической заменой может быть сведено к уравнению, общее решение которого зависит от начальных данных рационально \cite{Painleve}, pag. 242. Затем развернуто описывается общее решение такого уравнения (приводится с сокр.):

\begin{Th}[Пенлеве, \cite{Painleve}, pag. 381]\label{th:Painleve}
Если общее решение $y$ заданного уравнения 2-го порядка 
\[
f(x,\dot{x}, \ddot{x}; t)=0, 
\]
(где $f$ "--- многочлен относительно $x,\dot{x}, \ddot{x}$), зависит рационально от констант $x_0, \dot{x}_0, \ddot{x}_0$, связанных соотношением 
\[
f(x_0,\dot{x}_0, \ddot{x}_0; t_0)=0, 
\]
то этот интеграл принадлежит к одной из след. категорий:
\begin{enumerate}
\item или этот интеграл выражается алгебраически,
\item или $x$ выражается рационально через эллиптические функции $\wp(u+C)$ и $\wp'(u+C)$, где $u$ выражается через $t$ квадратурой
\[
u = \int h(t)dt,
\] 
то есть $x=R(\wp(u+C),\wp'(u+C))$, при этом коэффициенты функции $R$ выражаются алгебраически через коэффициенты исходного дифференциального уравнения и вторую константу интегрирования, 
\item или $x$ выражается рационально через абелеву функцию $\Al(u,v)$ и ее производные по $u$ и $v$, причем $u$ и $v$ выражаются через $t$ квадратурами
\[
u = \int h(t)dt + C_1, \quad v = \int k(t)dt + C_2,
\] 
\item или общее решение выражается рационально через функцию $y(t)$, то есть $x=R(y)$, где $y$ удовлетворяет уравнению Риккати 
\[
\dot{y}=-y^2+\gamma(t),
\]
$R$ и $\gamma$ выражаются алгебраически через коэффициенты исходного дифференциального уравнения  и произвольную константу $C$,
\item или $x=R(y,\wp(u+C),\wp'(u+C))$, где $u$ дается квадратурой
\[
u = \int h(t)dt,
\] 
а $y$ удовлетворяет уравнению Риккати 
\[
\dot{y}=-y^2+\gamma(t),
\]
причем $R$ выражается алгебраически через коэффициенты исходного дифференциального уравнения, а $\gamma$ может еще зависеть рационально от $\wp(u+C)$ и $\wp'(u+C)$,
\item или исходное уравнение алгебраической заменой сводится к линейному дифференциальному уравнению. 
\end{enumerate}
\end{Th}

Эта теорема подводит нас к неожиданному выводу: {\em зафиксировав алгебраические свойства общего решения, можно выделить класс общеупотребительных трансцендентных функций}. В общем случае можно поставить такую задачу: 

\begin{Problem}\label{pr:1}
Описать трансцендентные операции, необходимые для представления решений системы дифференциальных уравнений, если известно, что общее решение этой системы зависит от констант алгебраически. 
\end{Problem}

Сложность формулировки утверждения \ref{th:Painleve} заставляет искать более удобные объекты для исследования. Пенлеве шел от задач, в которых решение было мероморфной функцией $t$, и поэтому избрал в качестве основного объекта изучения решения задачи Коши
\[
\left \{
\begin{aligned}
& f(x,\dot{x}, \ddot{x}; t)=0, \\ 
& (x,\dot{x}, \ddot{x})|_{t=t_0}=(x_0,\dot{x}_0, \ddot{x}_0)
\end{aligned} 
\right.
\]
задающие бирациональное соответствие особого вида между поверхностями
\[
f(x,y,z;t)=0 \quad \mbox{и} \quad f(x,y,z;t_0)=0.
\] 
Эти соответствия трудно встроить в теорию Галуа, где основными объектами служат поля. Зато интегралы дифференциального уравнения образуют как раз поля, поэтому их мы и положим в основу рассмотрения. 

Цель настоящей статьи "--- дать абрисс такой теории Галуа для дифференциальных уравнений, в которой не фиксируется список допустимых трансцендентных операций (для дифференциальных уравнений первого порядка такая теория была намечена в нашей статье \cite{mal}). Опишем ее вкратце теорию, отсылая за точными формулировками и доказательствами к нижеследующим разделам. Если система дифференциальных уравнений
\[
\begin{cases}
f_1(x_1, \dots, \dot{x_1}, \dots; t)=0, \\ 
f_2(x_1, \dots, \dot{x_1}, \dots; t)=0, \\ 
\cdots\\
f_n(x_1, \dots, \dot{x_1}, \dots; t)=0, \\ 
\end{cases}
\]
допускает интеграл, зависящий от $x_1, \dots, x_n$ алгебраически, то она допускает и интеграл, рациональный на многообразии $V$ в аффинном пространстве $A^{2n}$, заданном уравнениями
\[
\begin{cases}
f_1(x_1, \dots, x_{n+1}, \dots; t)=0, \\ 
f_2(x_1, \dots, x_{n+1}, \dots; t)=0, \\ 
\cdots\\
f_n(x_1, \dots, x_{n+1}, \dots; t)=0. \\ 
\end{cases}
\]
Все рациональные интегралы системы дифференциальных уравнений составляют поле, которое мы будем называть полем интегралов. 

Коэффициенты исходной системы дифференциальных уравнений порождают некоторое дифференциальное поле над полем констант $\bb C$; мы будем называть его полем основных функций и считать заданным вместе с уравнением.  Коэффициенты интегралов, рациональных на многообразии $V$, тоже являются какими-то функциями $t$. Если эти коэффициенты принадлежат полю основных функций, то система допускает алгебраический интеграл, который можно сразу добавить к системе.  В противном случае, эти коэффициенты порождают некоторое поле над полем основных функций, которое мы будем называть полем трансцендент, вводимых интегрированием. 

\begin{Problem}\label{pr:2}
Описать трансцендентные операции, необходимые для задания функций поля трансцендент, вводимых интегрированием системы дифференциальных уравнений.  
\end{Problem}

Ключем к решению этой задачи послужит теорема \ref{th:itog}, согласно которой {\em поле интегралов системы дифференциальных уравнений эквивалентно полю рациональных функций на гиперповерхности, допускающей непрерывную группу бирациональных автоморфизмов, размерность которой совпадает с числом алгебраически независимых трансцендент, вводимых интегрированием системы.} Доказательство этой теоремы и представляет главную цель нижеследующих разделов.

\section{Дифференциальные уравнения над полем основных функций}

Алгебраическая теория дифференциальных уравнений берет свое начало в лекциях Вейерштрасса, известных в изложении Лео Кёнигсбергера \cite{Koe-1},\cite{Koe-2}, и работах Пенлеве, суммированных им в Стокгольмских лекциях \cite{Painleve}. Старые авторы работали по умолчанию с аналитическими функциями над полем $\bb C$ и чрезмерно смело обращались с вырожденными случаями. Современные авторы, напротив, обычно рассматривают решения дифференциальных уравнений  как кривые на дифференциальном многообразии, используя при этом стандартную топологию $\bb R^n$ \cite{Josef}. Однако при исследовании алгебраических вопросов естественно работать в топологии Зарисского. 

\subsection{Поля функций}

Обыкновенные дифференциальные уравнения задают связь между функциями независимой переменной (скажем, времени $t$) и их производными. Повышением порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений обычно удается добиться того, чтобы правые части уравнений, составляющих систему, были многочленами относительно функций и их производных, коэффициенты которых могут быть какими угодно аналитическими функциями переменной $t$. Будем считать, что коэффициенты рассматриваемых уравнений принадлежат некоторому заданному полю функций. 

\begin{Def}\label{def:k}
{\em Полем функций} переменной $t$ будем называть дифференциальное поле, элементами которого служат аналитические функции независимой переменной $t$, имеющие в некоторой односвязной области комплексной плоскости в качестве особенностей разве только полюса, дифференцированием поля служит дифференцирование по $t$, а полем констант "--- поле комплексных чисел $\bb C$. 

Поле функций, которому принадлежат коэффициенты рассматриваемых дифференциальных уравнений, будем называть {\em полем основных функций}. Набор функций переменной $t$, алгебраически  независимых над полем основных функций, будем называть трансцендентными функциями над $k$ или просто трансцендентами. 
\end{Def}

Упомянутую область изменения переменной $t$ будем называть областью определения поля функций $k$ и обозначать как $\Dom(k)$. В силу теоремы о монодромии функции поля $k$ однозначно определены в этой области. 

Значения функции $\phi$ из поля функций $k$ в точке $t=a$ будем обозначать как $\phi|_{t=a}$. Если $g$ "--- многочлен кольца $k[x_1,\dots, x_n]$, то его коэффициенты завися от $t$, подставив вместо $t$ число $t=a$ из поля констант $\bb C$, получим другой элемент этого поля, который будем обозначать как $g|_{t=a}$. Дифференцирование по $t$ можно продолжить на это кольцо, приняв
\[
\frac{\partial }{\partial t} (a x_1^{m_1}\dots x_{n}^{m_n}+\dots)=\dot{a} x_1^{m_1}\dots x_{n}^{m_n}+\dots.
\]
Скобки прибережем для другого: подставив в многочлен $g$ кольца $k[x_1,\dots, x_n]$ на место переменных $x_1,\dots, x_n$ точку $q$ аффинного пространства $A^{n}$ над полем $k$, получим элемент поля $k$, то есть функции переменной $t$, ее условимся обозначать как $g(q)$. Дифференцирование поля $t$ подчиняется правилу Лейбница, поэтому 
\[
\frac{d g(q)}{dt} = \sum \limits_{i=1}^n \frac{\partial g}{\partial x_i}(q) \cdot \dot{q}_i + \frac{\partial g}{\partial t}(q)
\]

\subsection{Дифференциальные уравнения}

Поле основных функций $k$, вообще говоря, не замкнуто ни относительно алгебраических, ни относительно дифференциальных уравнений. Вложим его в алгебраически замкнутое поле $K$. Если не оговорено противное, будем считать, что его поле констант поля $K$ совпадает с $\bb C$. В этом случае аффинное пространство $A^n$ над полем $K$, но не над $k$, является стандартным объектом для алгебраической геометрии \cite{Hartshorn}, гл. 1. 

\begin{Anm}
Никакое алгебраически замкнутое расширение поля основных функций нельзя считать полем функций в смысле определения \ref{def:k}, поскольку любая точка области определения поля основных функций является для какого-нибудь элемента расширения точкой ветвления и поэтому нельзя указать область определения, в которой бы элементы расширения были бы однозначными функциями. В частности подстановку $t=a$ нельзя рассматривать как однозначно определенное отображение расширения $K$ на $\bb C$. 
\end{Anm}

Аффинное пространство $A^{n}_k$ будем рассматривать как подмножество аффинного пространства $A^{n}_K$. Если $\g a$ "--- идеал кольца $k[x_1, \dots, x_n]$, то множество 
\[
K[x_1, \dots, x_n]\g a
\]
является идеалом кольца $K[x_1, \dots, x_n]$, будем называть пополнением идеала $\g a$ в поле $K$ и обозначать как $\g a^K$. Множество тех точек аффинного пространства $A^{n}$ над полем $k$ или $K$, в которых обращаются в нуль все многочлены из $\g a$, будем обозначать как $V(\g a /k)$ и $V(\g a/K)$ соответственно.  

В нашем случае на полях $k$ и $K$ имеется дополнительная структура "--- дифференцирование. Его можно применить к каждой координате точки $q$ аффинного пространства $A^n$ и тем самым получить еще $n$ элементов этого поля. Поставим в соответствие точке $q$ аффинного пространства $A^n$ над $K$ точку
\[
\dot{q} = (q_1, \dots, q_n, \dot{q}_1,  \dots, \dot{q}_n)
\]
аффинного пространства $A^{2n}$ над $K$. При этом соотношение  
\[
\dot{q} \in V(\g a/K)
\]
эквивалентно равенствам 
\[
\left \{
\begin{aligned}
& g_1(q_1, \dots, q_n, \dot{q}_1, \dots, \dot{q}_n)=0, \\
& \cdots, \\
& g_m(q_1, \dots, q_n, \dot{q}_1, \dots, \dot{q}_n)=0.
\end{aligned}
\right.
\]

\begin{Def}\label{def:S}
Решением в дифференциальном расширении $K$ поля основных функций $k$ системы дифференциальных уравнений 
\begin{equation}\label{eq:system}
\left \{
\begin{aligned}
& g_1(x_1, \dots, x_n, \dot{x}_1, \dots, \dot{x}_n)=0, \\
& \cdots, \\
& g_m(x_1, \dots, x_n, \dot{x}_1, \dots, \dot{x}_n)=0,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
левые части которых порождают идеал 
\[
\g a=(g_1, \dots, g_m)
\] 
кольца $k[x_1, \dots, x_{2n}]$,  будем называть такую точку $q$ аффинного пространства $A^n$ над $K$, что $\dot{q} \in V(\g a/K)$. 
\end{Def}

Множество решений зависит только от $\g a$, но не от выбора его образующих; будем  обозначать это множество как $S(\g a/K)$.

\begin{Anm}
Мы не будем предполагать, что число дифференциальных уравнений совпадает с числом неизвестных, поскольку в противном случае пришлось бы исключить из рассмотрения важнейшие механические примеры. Напр., в задаче трех тел ускорения выряжаются рационально через координаты тел и расстояния между ними, поэтому, приняв за переменные декартовы координаты тел, их скорости  и расстояния между телами, мы получим систему дифференциальных уравнений вида \eqref{eq:system}, если добавим к уравнениям Ньютона алгебраические уравнения, связывающие декартовы координат тел и расстояния между ними. Уравнения Ньютона для такой задачи более естественным рассматривать на многообразии, однако принципиальной необходимости в этом нет.  
\end{Anm}

\begin{Anm}
%Внесено исправление
В теории, основанной на топологии $\bb R^n$, решения дифференциального уравнения "--- кривые на дифференциальном многообразии, касательные к которым аннулируют распределение Картана \cite{Josef}; в топологии Зарисского все оказывается даже проще: решение "--- просто точка аффинного пространства, рассматриваемого над полем функций. 
\end{Anm}

\subsection{Вполне совместные и замкнутые системы дифференциальных уравнений}

В определении \ref{def:S} никак не фиксировано число дифференциальных уравнений, их может оказаться слишком много для того, чтобы множество решений было непусто, и слишком мало для того, чтобы выразить производные $\dot{x}_i$ через сами функции $x_j$.  

Условие, показывающее, что в расширении $K$ имеется достаточное число решений системы \eqref{eq:system}, сформулируем по аналогии с теоремой Гильберта о нулях \cite{Zar}:

\begin{Def}\label{def:KPab}
Систему дифференциальных уравнений \eqref{eq:system} будем называть вполне совместной над полем $K$, если для многочлена $f$ из $k[x_1, \dots, x_{2n}]$, обращающегося в нуль на любом решении из $S(\g a/K)$ можно указать такое целое число $r$, что $f^r$ принадлежит идеалу $\g a$, порожденному правыми частями уравнений этой системы.
\end{Def}

Условие, показывающее, что уравнений и не слишком мало, сформируем только для неприводимых систем. 

\begin{Def}
Систему \eqref{eq:system} будем называть неприводимой в поле $K$, если неприводимо топологическое пространство $V(\g a/K)$. 
\end{Def}

Не вводя в рассмотрение новых трансцендентных функций, можно расширить поля основных функций так, чтобы можно было расщепить заданную систему дифференциальных уравнений на несколько систем, левые части которых порождают неприводимые многообразия в аффинном пространстве над любым расширением поля основных функций. Это позволяет в дальнейшем ограничиться неприводимыми системами дифференциальных уравнений. При этом под неприводимый  системой дифференциальных уравнений без указания поля будет подразумеваться система, неприводимая над алгебраическим замыканием поля основных функций. 

Итак, рассмотрим неприводимую систему дифференциальных уравнений \eqref{eq:system}, левые части которых порождают идеал $\g p$, пополнение $\g p^K$ которого, стало быть, просто. Элементы поля частных кольца 
\[
K[x_1, \dots, x_{2n}]/\g p^K
\] 
буем интерпретировать как отображения открытого подмножества аффинного пространства $V(\g p/K)$ в $K$, называть рациональными функциями на аффинном пространстве $V(\g p/K)$ и обозначать как $R(\g p/K)$.  Элементы поля частных кольца
\[
k[x_1, \dots, x_{2n}]/\g p,
\] 
которое мы будем обозначать как $R(\g p/k)$, можно рассматривать не только как рациональные функции на $V(\g p/k)$ со значениями в $k$, но и как рациональные функции на $V(\g p/K)$ со значениями в $K$, то есть как подполе в $R(\g p /K)$. 

\begin{Def}\label{def:clo}
Неприводимую систему дифференциальных уравнений над полем $k$, правые части которой порождают идеал $\g p$ кольца $k[x_1, \dots, x_{2n}]$, будем называть замкнутой, если можно указать такое дифференцирование $D$ поля рациональных функций на $V(\g p/k)$, что для любого расширения $K$ поля $k$ равенство
\[
\frac{df(q)}{dt}=Df(q) 
\]
верно при всех $q\in S(\g p/K)$ и $f \in k[x_1, \dots, x_{2n}]$. 
\end{Def}

Такое дифференцирование $D$ можно продолжить на $R(\g p/K)$ при любом $K$, но при этом для любого монома
\[
D x_1^{n_1} \dots x_{2n}^{n_{2n}} \in R(\g p/k).
\] 

\section{Расширение Пюизё}

Обратимся теперь к вопросу о существовании такого расширения исходного поля, над котором бы исходная неприводимая система дифференциальных уравнений была бы вполне совместна и замкнута.

\subsection{Поля рядов Пюизё}

В теории алгебраических чисел оказывается весьма удобным погрузить все рассматриваемые поля в поле $\bb C$, в котором все алгебраические уравнения имеют корни. Аналогом т.н. основной теоремы алгебры в теории дифференциальных уравнений является теорема Коши, которая дает решения систем дифференциальных уравнений в виде степенных рядов. С тем, чтобы расширение поля основных функций было алгебраически замкнутым, следует принять во внимание и дробные степени. Формальные ряды вида
\[
a_0 t^{n_0}+ a_1 t^{n_1}+\dots,
\]
где $n_0 < n_1 < \dots$ "--- рациональные числа, имеющие общий знаменатель, а $a_0, a_1, \dots$ "--- элементы некоторого поля $\bb K$ числа называют рядами Пюизё по степеням $t$ с коэффициентами в поле $\bb K$; если поле $\bb K$ замкнуто алгебраически и имеет характеристику нуль, то множество таких рядов представляет собой алгебраически замкнутое поле, \cite{Maclagan-Sturmfels}, теорема 2.1.5.

\begin{Def}\label{def:P}
Расширением Пюизё поля основных функций $k$ в точке $t=a$ области $\Dom(k)$ будем называть поле рядов Пюизё по степеням $t-a$ с коэффициентам в поле констант поля основных функций (т.е. по умолчанию поля $\bb C$) и обозначать как $P_a(k)$.  Вместо $V(\g a/P_a(k))$ и $S(\g a/ P_a(k))$ будем для краткости писать $V_a(\g a)$ и $S_a(\g a)$.
\end{Def}

Поскольку любую функцию из поля основных функций можно разложить в области $\Dom(k)$ в ряд Лорана с конченым числом отрицательных степеней, расширение Пюизё поля основных функций является алгебраически замкнутым дифференциальным расширением поля основных функций. Его, однако, нельзя считать полем функций в смысле определения \ref{def:k}, поскольку в определении \ref{def:P} не делается никаких предположений ни о сходимости рядов, ни о выделении однозначных ветвей. 

\subsection{Совместность дифференциальных уравнений системы}

Вместо общего определения \ref{def:KPab} примем для начала след.:

\begin{Def}\label{def:Pab}
Систему дифференциальных уравнений \eqref{eq:system} будем называть вполне совместной, если для многочлена $f$ из $k[x_1, \dots, x_{2n}]$, обращающегося в нуль на любом решении в расширении Пюизё $P_a(k)$ и при любом $a$ из области определения поля основных функций $k$, можно указать такое целое число $r$, что $f^r$ принадлежит идеалу $\g a$, порожденному правыми частями уравнений этой системы.
\end{Def}

Покажем, что неприводимая система $n$ дифференциальных уравнений на $n$ неизвестных функций
\begin{equation}\label{eq:system-n}
\left\{
\begin{aligned}
& g_1(x_1, \dots, x_n, \dot{x}_1, \dots, \dot{x}_n)=0,\\
& \cdots\\
& g_n(x_1, \dots, x_n, \dot{x}_1, \dots, \dot{x}_n)=0,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
в этом смысле вполне совместна. 

\begin{Theorem}\label{th:Pab}
Пусть якобиан неприводимой системы \eqref{eq:system-n}
\[
j=\frac{\partial g_1, \dots, g_n}{\partial x_{n+1}, \dots, x_{2n}}
\]
не принадлежит идеалу
\[
\g p= (g_1, \dots, g_n),
\]
порожденному левыми частями уравнений этой системы. Если многочлен $f$ из $k[x_1, \dots, x_{2n}]$ обращается в нуль на любом решении из $S_a(\g p)$ при любом $a$ из области определения поля основных функций $k$, то $f$ принадлежит идеалу $\g p$. 
\end{Theorem}

\begin{proof} Идеал
\[
\g a = (j, g_1, \dots, g_n)
\]
задает замкнутое подмножество $V_a(\g a)$ на многообразии $V_a(\g p)$. Обозначим как $U$ "--- дополнение к $V_a(\g a)$ и возьмем в этой области какую-нибудь точку $p$, представляющую собой $2n$ рядов Пюизе по степеням $t-a$. 

Допустим для начала, что эти ряды сходятся в некоторой окрестности точки $t=a$. Точка $p$ многообразия $V(\g p)$ принадлежит $U$, если ряд $j(p)$ по степеням $t-a$ не равен нулю тождественно, то есть если можно указать такую точку $t=b$, что $p|_{t=b}$ "--- точка аффинного пространства $A^{2n}$ над $\bb C$ и $j(p)|_{t=b}\not=0$.

При рассмотрении задачи Коши удобно ввести вслед за Пенлеве новую независимую переменную $\overline{t}$ и принять, что черта сверху над выражением означает замену переменной $t$ на $\overline{t}$. Обозначим как $L$ "--- поле рядов Лорана по степеням $t-b$ с коэффициентам в поле $\overline{k}$. Тогда теорема Коши утверждает, что при $t$ и $\overline{t}$, достаточно близких к $b$, рассматриваемая система дифференциальных уравнений имеет решение $q$ в поле $L$, которое при $t=\overline{t}$ принимает значение $\dot{q}=\overline{p}$. Придавая $\overline{t}$ какие угодно комплексные значения, близкие к $t=b$, получим решения в поле $P_b(k)$. По условию многочлен $f$ аннулируется на любых решениях из $P_b(k)$, и в частности на рядах $\dot{q}$, какое бы значение $\overline{t}$ мы не подставляли, а значит и на этих рядах как на элементах поля $L$. Подставляя в
\[
f(\dot{q})=0
\]
значение $t=\overline{t}$, получим
\[
\overline{f}(\overline{p})=0;
\]
поскольку $\overline{t}$ "--- такая же зависимая переменная, как и $t$, это означает лишь, что $f(p)=0$. 

Пусть теперь $p'$ "--- элемент области $U$, который дается формальными рядами Пюизё. Для него можно указать такой сходящийся в окрестности $t=a$ ряд Пюизё $p''$,  чтобы любое число первых коэффициентов рядов $f(p')$ и $f(p'')$ совпадало. Поскольку на $p''$ многочлен $f$ обращается в нуль, то все коэффициенты ряда $f(p')$ равны нулю, то есть $f$ обращается в нуль на всем открытом множестве $U$. 

По предположению расширение идеала $\g p$ является простым идеалам, поэтому пространство $V_a(\g p)$ "--- неприводимо и, следовательно, равенство $f(p)=0$ продолжается на все $V_a(\g p)$. Поскольку расширение Пюизё дает алгебраически замкнутое поле, в силу теоремы Гильберта о нулях, $f$ принадлежит расширению $\g p$. По условию коэффициенты $f$ лежат в поле основных функций, поэтому $f\in \g p$. 
\end{proof}

\begin{Anm}
Ради конструкции, использованной в доказательстве этой теоремы, выше было позволено рассматривать расширения поля $k$, поля констант которых больше $\bb C$. 
\end{Anm}

Было бы намного удобнее использовать одно расширение вместо целого семейства расширений Пюизё, приняв в полном соответствии с определением \ref{def:KPab} след.: 

\begin{Def}\label{def:Pa}
Систему дифференциальных уравнений \eqref{eq:system} будем называть вполне совместной над расширением $K$ поля основных функций, если для многочлена $f$ из $K[x_1, \dots, x_{2n}]$, обращающегося в нуль на любом решении в поле $K$, можно указать такое целое число $r$, что $f^r$ принадлежит идеалу $\g a^K$, порожденному правыми частями уравнений этой системы.
\end{Def}

По теореме Пенлеве из области определения поля основных функций можно удалить некоторое множество точек, именуемых неподвижными особыми точками, с тем, чтобы в оставшейся области аналитические решения заданного уравнения первого порядка
\[
g(x, \dot{x})=0, \quad g\in k[x_1,x_2]
\]
можно было продолжать, не встречая других особенностей, кроме алгебраических, \cite{Golubev}, стр. 51. 

\begin{Theorem}
Неприводимое дифференциальное уравнение 1-го порядка 
\[
g(x, \dot{x})=0, \quad g\in k[x_1,x_2]
\]
вполне совместно над полем $P_a(k)$, где $t=a$ "--- любая точка области определения поля основных функций, отличная от неподвижных особых точек этого уравнения. 
\end{Theorem}

Доказательство дословно повторяет доказательство пред. теоремы, только теперь выражение $f(q)$ обращается в нуль не потому, что при любом фиксированном $\overline{t}$ ряд $q$ принадлежит $S_b(\g p)$, а потому, что его можно продолжить в точку $t=a$ и получить ряд из $S_a(\g p)$. 

К сожалению, уже для известных механических систем алгебраичность подвижных особых точек приходится доказывать особо, напр., для задачи трех тел она установлена вдоль вещественной оси и при вещественных начальных данных, не аннулирующих момент импульса системы, \cite{Siegel}. Для систем, разрешенных относительно производных, это свойство удалось  установить, потребовав, чтобы их коэффициенты не были подчинены особым условиям, \cite{Painleve}. 

Тем не менее доказательства выглядят проще для систем, волне совместных над полем $K$, но без особых хлопот переносятся на системы, вполне совместные в смысле определения \ref{def:Pab}.

\subsection{Замкнутость дифференциальных уравнений системы}

В условиях теоремы \ref{th:Pab} нетрудно доказать и замкнутость системы $n$ дифференциальных уравнений на $n$ неизвестных функций \eqref{eq:system-n} в смысле определения \ref{def:clo}. 

Пусть $q$ "--- какое угодно решение из $S(\g p/K)$, тогда
\[
f_i(q_1, \dots, q_n, \dot{q}_1, \dots, \dot{q}_n)=0,
\]
и поэтому
\[
\sum \limits_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(q)\cdot q_{i+n} + \sum \limits_{j=n+1}^{2n} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(q)\cdot \dot{q}_i + \frac{\partial f_i}{\partial t}(q)=0.
\]
Если якобиан системы \eqref{eq:system-n} не принадлежит идеалу $\g p$, то система 
\[
\left \{\sum \limits_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\cdot x_{i+n} + \sum \limits_{j=n+1}^{2n} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \cdot r_i + \frac{\partial f_i}{\partial t}=0, \quad i=1,\dots, n \right.
\]
имеет решение $(r_1, \dots, r_n)$ в поле рациональных функций $R(\g p/k)$ над полем $k$. Продолжим дифференцирование по $t$ поля $K$ до дифференцирования $D$ поля $R(\g p/K)$, приняв  
\[
D x_i = x_{i+n}, \quad Dx_{i+n}=r_i, \quad i=1, \dots, n.
\]
Тогда в любой точке $q$ из $S(\g p/K)$
\[
D x_i(q) = x_{i+n}(q)=q_{i+n}=\dot{q}_i, \quad i=1, \dots, n.
\]
и, поскольку система 
\[
\left \{\sum \limits_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(q)\cdot x_{i+n}(q) + \sum \limits_{j=n+1}^{2n} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(q) \cdot z_i + \frac{\partial f_i}{\partial t}(q)=0, \quad i=1,\dots, n \right.
\]
имеет в поле $K$ единственное решение $(z_1, \dots, z_n)$, 
\[
D x_{n+i}(q)=z_i=\dot{q}_{n+i}, \quad i=1 \dots, n.
\]
Из $2n$ равенств
\[
D x_{i}(q)=\dot{q}_i, \quad i=1 \dots, 2n.
\]
и правила Лейбница мгновенно следует
\[
\frac{df(q)}{dt}=Df(q). 
\]
Тем самым доказана след. теорема.

\begin{Theorem}\label{th:system-n-clo}
Если якобиан неприводимой системы \eqref{eq:system-n}
\[
j=\frac{\partial g_1, \dots, g_n}{\partial x_{n+1}, \dots, x_{2n}}
\]
не принадлежит идеалу
\[
\g p= (g_1, \dots, g_n),
\]
порожденному левыми частями уравнений этой системы, то эта система замкнута. 
\end{Theorem}
 
\section{Рациональные интегралы системы дифференциальных уравнений}

Обратимся теперь к интегралам неприводимой, вполне совместной над $K$ и замкнутой системы \eqref{eq:system}, правые части которой порождают идеал $\g p$.  

\subsection{Алгебраические интегралы}

В теории дифференциальных уравнений, и в первую очередь в механике, алгебраическим интегралом движения называют алгебраическую функцию перемененных $x_1, \dots, x_n$, принимающую постоянное значение на любом решении. 

\begin{Def}
Скажем, что уравнение
\[
a_0 z^s+\dots a_s=0, \quad a_i\in K[x_1, \dots, x_n]
\]
задает алгебраический интеграл движения, если на любом решении $q$ из $S(\g a/K)$ уравнение
\[
a_0(q)z^n+ \dots a_n(q)=0 
\]
имеет корень в поле констант поля $K$. Этот корень будем далее называть неподвижным корнем.

Функцию $f$, рациональную на $V(\g p/K)$, будем называть рациональным интегралом движения, если на любом решении $q\in S(\g p/K)$ из $f(\dot{q})\in K$ следует $f(\dot{q})\in \bb C$. 
\end{Def} 

\begin{Theorem}
Если неприводимая система вполне совместна и замкнута над расширением $K$ поля функций $k$, то всякое уравнение
\[
a_0 z^s+\dots a_s=0, \quad a_i\in K[x_1, \dots, x_n],
\]
задающее алгебраический интеграл, над полем $R(\g p/K)$ распадается на несколько уравнений, причем коэффициентами хотя бы в одном из них служат рациональные интегралы системы.  
\end{Theorem}

\begin{Anm}
Подобного рода утверждения используются при изысканиях алгебраических интегралов динамических систем и потому обычно доказываются специально для гамильтоновых систем, см., напр., \cite{Koe-2}.
\end{Anm}

\begin{proof}
Когда уравнение 
\[
a_0 z^s+\dots a_s=0, \quad a_i\in K[x_1, \dots, x_n],
\]
распадается в поле $R(\g p /K)$ на несколько уравнений, одно из них, скажем, 
\[
z^m+ b_1z^{m-1}+\dots +b_{m}=0, \quad b_i \in R(\g p/K),
\] 
имеет неподвижный корень $z=c$. Тогда для любого решения $q \in S(\g p/K)$, на котором знаменатели $b_i$ не обращаются в нуль, верно
\[
c^m+ b_1(\dot{q}) c^{m-1}+\dots +b_{m}(\dot{q})=0;
\]
дифференцируя это равенство по $t$, получим
\[
\frac{db_1(\dot{q})}{dt}c^{m-1}+\dots +\frac{db_1(\dot{q})}{dt}(dq)=0.
\]
Поскольку рассматриваемая система дифференциальных уравнений замкнута, это соотношение можно переписать так: 
\[
Db_1(\dot{q}) c^{m-1}+\dots +Db_{m}(\dot{q})=0.
\]
Это означает, что результант $r$ системы 
\[
\{z^m+ b_1z^{m-1}+\dots +b_{m}=0, \quad Db_1z^{m-1}+\dots +Db_{m}=0
\]
равен нулю в любой точке $\dot{q}$. По предположению теоремы система дифференциальных уравнений вполне совместна над $K$, поэтому отсюда следует, что результант равен нулю во всех точках $V(\g p/K)$. Но тогда неприводимое уравнение степени $m$ имеет общие корни с уравнением меньшей степени, это возможно лишь тогда, когда все коэффициенты этого уравнения равны нулю, то есть когда
\[
Db_1=\dots =Db_{m}=0,
\]
или
\[
\frac{db_1(\dot{q})}{dt}=\dots=\frac{db_1(\dot{q})}{dt}=0 \]
в любой точке $q \in S(\g p/K)$. 
\end{proof}

Доказанная теорема показывает, что при интегрировании системы дифференциальных уравнений достаточно ограничиться рациональными интегралами движения. Ее нетрудно распространить и на семейства расширений Пюизё, о которых идет речь в определении \ref{def:Pab}. 

\subsection{Поле рациональных интегралов и его коэффициенты}

Если добавить к рациональным интегралам системы \eqref{eq:system} числа из $\bb C$, получится подполе в поле рациональных функций на $V(\g p/K)$, которые мы будем называть {\em полем рациональных интегралов} и обозначать как $I(\g p/K)$.  

\begin{Theorem}\label{th:coef}
Любую рациональную функцию на многообразии $V(\g p/K)$ можно задать парой $g:h$ многочленов из $K[x_1, \dots, x_{2n}]$, коэффициенты которых принадлежат полю, порожденному над $k$ значениями этой функции в надлежащим образом подобранном конечном наборе точек многообразии 
\[
V(\g p/K)\cap A^{2n}_k=V(\g p/k).
\]
\end{Theorem}

\begin{proof}
Возьмем какое-нибудь представление рассматриваемой функции $r$ в виде отношения многочленов $g:h$, выберем из содержащихся в них мономов $x_1^{n_1}\dots x_{2n}^{n_{2n}}$ линейно свободные по модулю $\g p^K$ над $K$ и обозначим их как $m_1, \dots, m_u$. Любой элемент кольца $K[x_1, \dots, x_{2n}]/\g p^K$ если и можно представить в виде линейно комбинации этих мономов с коэффициентам из $K$, то единственным образом. В частности, 
\[
g= \sum g_i m_i, \quad h=\sum h_i m_i.
\]
Мы докажем теорему, если выразим $g_i$ и $h_i$ через значения $r$ в точках $V(\g p/k)$.

Возьмем на удачу точку $q_1$ из $V(\g p/k)$, тогда
\[
\sum (g_i-r(q_1)h_i) \cdot m_i(q)=0,
\] 
откуда получаются линейные однородные уравнения на коэффициенты  
\[
g_i-r(q_1)h_i=0.
\]
Затем возьмем точку $q_2$ и добавим к этой системе еще несколько уравнений, не являющихся следствием остальных. Двигаться так дальше до бесконечности невозможно, поскольку иначе получится линейная однородная система, в которой уравнений больше неизвестных, и следовательно, $h=0$, что невозможно. Значит, на $j$-ом шаге мы получаем такую систему линейных однородных уравнений, подчинив которой коэффициенты, уже нельзя указать точку $q_{j+1}$, в которой бы не выполнялось соотношение
\[
\sum (g_i-r(q_{j+1})h_i) \cdot m_i(q_{j+1})=0.
\]    
Иными словами, если коэффициенты  $g_i,h_i$ удовлетворяют так построенной системе  линейных однородных уравнений, то функция $g/h$ совпадает с $r$ во всех точках $V(\g p/k)$. 

Если эти функции не совпадают в некоторой точке $q$ из $V(\g p/K)$, то имеется такое значение $t=b$, что 
\[
\left.\frac{g(q)}{h(q)}-r(q)\right|_{t=b} \not =0.
\]
Но тогда эти функции не могут совпадать и в той точке $p$ из $V(\g p/k)$, в которой 
\[
p|_{t=b}=q|_{t=b},
\]
что невозможно. Следовательно, $g/h$ совпадает с $r$ во всех точках $V(\g p/K)$, где они определены. 

Остается заметить, что коэффициентами системы линейных однородных уравнений для  $g_i,h_i$ служат значения мономов в точках  $V(\g p/k)$, то есть элементы поля $k$, или произведения таких мономов на значение функции в точках $q_1, \dots, q_j$. Поэтому можно  подобрать ее решение в поле, порожденным над $k$ элементами $r(q_1), \dots, r(q_j)$. 
\end{proof}

\begin{Def}\label{def:coef}
Будем говорить, что коэффициенты элементов (функций) подполя $P$ поля $R(\g p/K)$ лежат в поле $k'$, если это поле заключено между $k$ и $K$ и всякая функция $r$ из $P$ принимает на некотором открытом множестве многообразия $V(\g p/k)$ значения в поле $k'$. Наименьшее поле, которому принадлежат коэффициенты подполя $P$, будем называть {\em полем коэффициентов} поля $P$ и писать $\coef(P)$. 
\end{Def}

\begin{Def}
Поля коэффициентов интегралов системы дифференциальных уравнений будем называть {\em полем трансцендент, вводимых интегрированием этой системы}.
Элементы базиса трансцендентности этого поля над полем основных функций будем называть  {\em трансцендентами, вводимыми интегрированием}, а степень трансцендентности "--- числом трансцендент, вводимых интегрированием. 
\end{Def}

Это определение позволяет строго сформулировать задачу \ref{pr:2}.

\begin{Problem}\label{pr:3}
Перечислить все трансценденты, вводимые интегрированием систем дифференциальных уравнений. 
\end{Problem}

\subsection{Свойства поля интегралов}

Если рациональные интегралы вполне совместной замкнутой системы дифференциальных уравнений  алгебраически зависимы над полем $K$, то они зависимы и над полем констант поля $K$. В самом деле, если интегралы $r_1, \dots, r_s$ системы связаны неприводимым над полем $K$ соотношением
\[
\sum a_{n_1, \dots, n_s} r_1^{n_1}\dots r_s^{n_s} =0, \quad a_{n_1, \dots, n_s} \in K,
\] 
то верно и 
\[
\sum \dot{a}_{n_1, \dots, n_s} r_1^{n_1}\dots r_s^{n_s} =0,
\]
поэтому все коэффициенты $a_{n_1, \dots, n_s}$ неизбежно принадлежат полю констант. 

Это наблюдение позволяет охарактеризовать поле интегралов как классический объект алгебраической геометрии:  

\begin{Theorem}\label{th:i-surf}
Если вполне совместная замкнутая система дифференциальных уравнений допускает $m$ рациональных интегралов, то ее поле интегралов изоморфно полю рациональных функций на гиперповерхности в аффинном пространстве над полем $\bb C$ размерности $m$. 
\end{Theorem}

Под числом рациональных интегралов, которые допускает система \eqref{eq:system}, будем понимать, конечно, ст. тр. поля интегралов над полем $\bb C$. 

\begin{proof}
Ст. тр. поля $R(\g p/K)$ над $K$  конечна, она совпадает с порядком системы \eqref{eq:system}. Поэтому имеется конечное число алгебраически независимых над $K$  интегралов, скажем $r_1, \dots, r_s$, а всякий прочий интеграл $r$ связан с ними алгебраическим соотношением, коэффициенты которого лежат в $K$, а следовательно, и в $\bb C$. Поэтому поле интегралов $I(\g p/K)$ является алгебраическим расширением поля $\bb C(r_1, \dots, r_s)$. 

Поскольку поле $R(\g p/K)$ конечно порождено над $K$, композит $K$ и $I(\g p/K)$, лежащий между $K$ и $R(\g p/K)$, тоже конечно порожден над $K$. Если интегралы $r',r'', \dots$ линейно свободны над $\bb C(r_1, \dots, r_s)$, то они линейно свободны и над композитом $\bb C(r_1, \dots, r_s)$ и $K$. Поскольку композит $K$ и $I(\g p/K)$ конечно порожден над $K$, таких элементов не может быть бесконечно много, следовательно, поле $I(\g p/K)$ конечно над $\bb C(r_1, \dots, r_s)$ и по теореме о примитивном элементе в поле $I(\g p/K)$ можно найти такой элемент $r_{s+1}$, присоединение которого к полю $\bb C(r_1, \dots, r_s)$ дает все поле $I(\g p/K)$. 
\end{proof}

\begin{Anm}
Для доказательства существенно, что мы работаем с полями, а не о кольцах; в противном случае мы уперлись бы в 14-ую проблему Гильберта.
\end{Anm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\subsection{Свойства поля коэффициентов рациональных интегралов}

Как следствие теорем \ref{th:coef} и \ref{th:i-surf} имеем:

\begin{Theorem}\label{th:i-point}
Поле трансцендент, вводимых интегрированием вполне совместной и замкнутой системы дифференциальных уравнений,  конечно порождено над полем $k$. Его базисом трансцендентности служат значения надлежащим образом выбранных интегралов $r_1, \dots$ в надлежащим образом выбранных точках $q', \dots $ многообразия $V(\g p/k)$.
\end{Theorem}

Из равенства $Dr=0$ следует, что в любой точке $q\in V(\g p/k)$ верно
\[
\frac{dr(q)}{dt}=\frac{\partial r}{\partial t}(q) + \sum \limits_{i}\frac{\partial r}{\partial x_i}(q)= -\sum\frac{\partial r}{\partial m_j} Dm_j + \sum \limits_{i}\frac{\partial r}{\partial x_i}(q)
\]
По определению \ref{def:clo} для любого монома $m$ верно 
\[
Dm_j \in R(\g p/k),
\]
поэтому $r(q)$ и ее производная принадлежат полю коэффициентов интегралов системы. Поэтому из теоремы \ref{th:i-point} получается и след.:

\begin{Theorem}\label{th:i-d}
Поле трансцендент, вводимых интегрированием вполне совместной и замкнутой системы дифференциальных уравнений, замкнуто относительно дифференцирования по $t$. 
\end{Theorem}

\subsection{Автоморфизмы поля трансцендент, вводимых интегрированием}

Обратимся теперь к автоморфизмам поля трансцендент, для чего используем конструкции, обычные для всех лиувиллиевых теорий, восходящих к статье Лиувилля об интегрировании в элементарных функциях \cite{Liouville}, см. также \cite{Ritt},\cite{Hovanski},\cite{Trocki}.

\begin{Theorem}\label{th:T}
Группа дифференциальных $k$-автоморфизму поля трансцендент, вводимых интегрированием вполне совместной и замкнутой над $K$ системы дифференциальных уравнений \eqref{eq:system}, вложена в группу $\bb C$-автоморфизмов поля интегралов. 
\end{Theorem}

\begin{proof} (i) Всякий дифференциальный $k$-автоморфизм поля $k'$, лежащего между $k$ и $K$,  можно продолжить до автоморфизма поля рациональных на $V(\g p/K)$ функций, коэффициенты которых принадлежат полю $k'$. 

Пусть $T$ "--- дифференциальный $k$-автоморфизм поля $k'$, то есть автоморфизм, коммутирующий с дифференцированием поля $k'$
\[
T\frac{d\alpha}{dt}=\frac{dT\alpha}{dt}
\]
и оставляющий элементы поля $k$ на месте. Этот автоморфизм без труда продолжается на $k'[x_1, \dots, x_{2n}]$. Образующие идеала $\g p$ имеют коэффициенты в $k$ и поэтому остаются на месте, отсюда $T\g p =\g p$. 

Автоморфизм $T$ можно продолжить до автоморфизма поля рациональных на $V(\g p/K)$ функций, коэффициенты которых принадлежат полю $k'$, следующим образом. В силу теоремы \ref{th:coef} рациональную функцию $r$ можно представить как отношение 
$g:h$ многочленов из $k'[x_1, \dots, x_{2n}]$. Поскольку из $h\not \in \g p$ следует $Th \not \in T\g p=\g p$, отношение $Tg:Th$ тоже задает некоторую функцию, рациональную на $V(\g p/K)$ и имеющую коэффициенты в поле $k'$. Прежде чем назвать ее образом $Tr$, следует доказать, что эта функция не меняется при выборе другого представления функции $r$ в виде отношения многочленов. Поскольку $T$ оставляет на месте элементы $k$, в точке $q$ многообразия $V(\g p/k)$  функция, заданная отношением $Tg:Th$, принимает значение $T(r(q))$, а в силу теоремы \ref{th:coef} эти значения однозначно определяют рациональную функцию. 

(ii) Построенное выше продолжение автоморфизма $T$ коммутирует с дифференцированием $D$ поля $R(\g p/K)$.

Воспользуемся опять той же конструкцией, что и в доказательстве теоремы \ref{th:i-d}: если рациональную функцию представить как отношение 
\[
r=\frac{g_1 m_1+\dots}{h_1 m_1+\dots },
\]
где $m_1, \dots$ "--- мономы, линейно свободные над $K$ по модулю $\g p$, то
\[
Dr= \frac{\partial r}{\partial m_1} Dm_1 + \dots +\frac{\partial r}{\partial t}.
\]
Поскольку $T$ оставляет на месте элементы поля $k$, то 
\[
TDm_i=DTm_i=Dm_i.
\]
Поскольку $T$ коммутирует с дифференцированием по $t$, 
\[
T\frac{\partial r}{\partial t}=\frac{\partial Tr}{\partial t}.
\]
Поэтому продолжение $T$ на рациональные функции, коэффициенты которых лежат в поле $k'$, коммутирует с $D$.  

(iii) Если $T_1$ и $T_2$ "--- два автоморфизма поля $k'$, то, как видно из построения в (i), продолжение их произведения $T_1T_2$ совпадает с произведением продолжений. 

(iv) Если $k'$ "--- поле трансцендент, то продолжение, описанное в (i), задает гомоморфизм $\phi$ группы дифференциальных $k$-автоморфизмов поля $k$ в группу $\bb C$-автоморфизмов поля интегралов. 

Всякий дифференциальный автоморфизм $T$ поля трансцендент $k'$, продолжается до автоморфизма поля рациональных функций, коэффициенты которых лежат в $k'$. Все интегралы системы лежат в этом поле, и автоморфизм переводит интегралы в интегралы, поскольку $Dr=0$ влечет и $DTr=TDr=0$. Таким образом, $T$ продолжается до автоморфизмом поля $I(\g p/K)$. По условию $\bb C$ "--- поле констант поля $k$, следовательно, $T$ оставляет на месте константы и переставляет интегралы системы. 

(v) Гомоморфизм, построенный в (iv), является мономорфизмом. 

Автоморфизм поля трансцендент $T$, отличный от единичного, сдвигает хотя бы один элемент этого поля, следовательно, хотя бы один из элементов
\[
\alpha_1=r_1(q_1), \dots,
\] 
его порождающих над полем $k$, меняется под действием $T$. Это означает, что значение хотя бы одного интеграла хотя бы в одной точке многообразия $V(\g p/k)$ меняется под действием $T$.  
\end{proof}

Поле трансцендент $k'$, вводимых интегрированием систем, конечно порождено над полем основных функций $k$. Обозначим его базис трансцендентности как $\alpha_1, \dots, \alpha_u$, все поле $k'$ можно получить из $k(\alpha_1, \dots, \alpha_u)$, прибавив один  примитивный элемент $\alpha_{u+1}$, связанный с $\alpha_1, \dots, \alpha_u$ неприводимым над $k$ соотношением
\[
g(\alpha_1, \dots, \alpha_{u+1})=0, \quad g\in k[y_1, \dots, y_{u+1}].
\]
Простой идеал, порожденный левой частью этого уравнения обозначим как $\g q$. Поскольку поле $k'$ замкнуто относительно дифференцирования по $t$, найдутся такие элементы $f_i$ кольца  $k(y_1, \dots, y_u)[y_{u+1}]$, что
\[
\dot{\alpha}_i = f_i(\alpha_1, \dots, \alpha_{u+1}).
\]
Дифференциальный $k$-автоморфизм $T$ переводит эти соотношения в 
\[
\frac{dT\alpha_i}{dt} = f_i(T\alpha_1, \dots, T\alpha_{u+1}).
\]
Иными словами, дифференциальные $k$-автоморфизмы переводят решения системы дифференциальных уравнений 
\begin{equation}\label{eq:y}
\dot{y}_i = f_i(y_1, \dots, y_{u+1})
\end{equation}
на многообразии $V(\g q/K)$ в решения. Среди координат точки на $V(\g q/K)$ самое больше $u$ могут быть алгебраически независимы над $k$. Рассматриваемое решение 
\[
y_1=\alpha_1, \dots, y_{u+1}=\alpha_{u+1}
\]
системы \eqref{eq:y} обладает весьма приметным свойством: его координаты имеют наибольшую из возможных степень трансцендентности над $k$. Такое решение будем называть {\em вполне трансцендентным решением} системы. 

\begin{Def}
Расширение $k'$ поля $k$ основных функций будем называть нормальным в поле $K$, если 
\begin{enumerate}
\item это поле порождено над $k$ вполне трансцендентным решением некоторой системы дифференциальных уравнений уравнений над $k$,
\item все вполне трансцендентные решения этого уравнения в поле $K$ принадлежат и полю $k'$.
\end{enumerate}
\end{Def}

Это определение дано по аналогии с определением нормального расширения в теории Галуа, путаницы возникнуть не может, поскольку $k'$ не является алгебраическим расширением $k$. 

\begin{Theorem}
Поле трансцендент, вводимых интегрированием вполне совместной и замкнутой системы дифференциальных уравнений, является нормальным расширением поля основных функций. 
\end{Theorem}

\begin{proof}
Рассмотрим два вполне трансцендентных решения 
\[
y_1=\alpha_1, \dots, y_{u+1}=\alpha_{u+1} \quad \mbox{и} \quad
y_1=\beta_1, \dots, y_{u+1}=\beta_{u+1}
\]
системы \eqref{eq:y}, из которых первое порождает поле $k'=\coef(I(\g p/k))$, а второе "--- некоторое поле $k''$. Обозначим как $T$ гомоморфизм $k' \to k''$, переводящий $\alpha_i$ в $\beta_i$. Коммутационные соотношения, установленные в доказательстве теоремы \ref{th:T}, остаются в силе, поэтому продолжение $T$ переводит интегралы в интегралы. Поле коэффициентов этих интегралов во всяком случае принадлежит полю коэффициентов всех интегралов, то есть $k'' \subseteq k'$ как подполя в $K$. 

С другой стороны, $\beta_1, \dots, \beta_{u+1}$ заведомо связаны соотношением 
\[
g(\beta_1, \dots, \beta_{u+1})=0
\]
над $k$, поэтому $\beta_1, \dots, \beta_u$ не могут быть связаны еще каким-то дополнительным соотношением и, следовательно, составляют базис трансцендентности $k''$. Поскольку $g$ неприводимо над $k$, 
\[
k'=k(\alpha_1, \dots, \alpha_u)[\alpha_{u+1}], \quad k''=k(\beta_1, \dots, \beta_u)[\beta_{u+1}],
\]
а гомоморфизм $T$ "--- естественный изоморфизм этих полей. 
\end{proof}

\begin{Theorem}\label{th:itog}
Если интегрирование вполне совместной и замкнутой над расширениями Пюизё системы дифференциальных уравнений вводит $u$ трансцендент, то поле ее интегралов допускает $u$-параметрическую группу $\bb C$-автоморфизмов, которая продолжает группу дифференциальных автоморфизмов поля коэффициентов поля интегралов системы. 
\end{Theorem}

\begin{proof}
Поскольку поле трансцентент является нормальным расширением поля основных функций, всякое решение системы \eqref{eq:y} в поле Пюизё порождает дифференциальный $k$-автоморфизм этого поля. В силу теоремы \ref{th:T} всякий такой автоморфизм поля трансценетнт порождает автоморфизм поля интегралов. 
% Почем они различны? -- мономорфизм

Поскольку точка $(\alpha_1, \dots, \alpha_{u+1})$ принадлежит области определения правых частей системы \eqref{eq:y}, можно указать такое значение $t=b$, при котором все
\[
f_i(\alpha_1, \dots, \alpha_{u+1})|_{t=b} \in \bb C.
\]
Но тогда задача Коши для системы \eqref{eq:y} с начальными условиями
\[
y_1-\alpha_1|_{t=b}=c_1, \dots, y_u-\alpha_u|_{t=b}=c_u
\]
имеет решение в поле Пюизё, зависящее от $u$ параметров, меняющихся в окрестности нуля.  При 
\[
c_1=\dots=c_u=0
\] 
это решение совпадет с $\alpha_1, \dots, \alpha_{u+1}$ и поэтому его координаты не могут быть связаны никаким другим соотношением, кроме $g=0$ и его следствий. Поэтому теорема Коши не даст вполне трансцендентное решение лишь при таких значениях параметров $c_1, \dots, c_u$, которые не имеют точки сгущения в нуле. Отбросив их, имеем $u$-параметрическое семейство вполне трансцендентных решений задачи \eqref{eq:y}. 
\end{proof}

Подобно тому, как в теории Галуа исследование разрешимости алгебраических уравнений $n$-ого порядка сводят к исследованию подгрупп конченой групп перестановок $n$ элементов, доказанная теорема сводит исследование разрешимости системы дифференциальных уравнений к исследованию бесконечных групп автоморфизмов алгебраических многообразий. 

\section{Заключение}

Суммируя вместе теоремы \ref{th:i-surf} и \ref{th:itog}, мы видим, что {\em поле интегралов системы дифференциальных уравнений эквивалентно полю рациональных функций на гиперповерхности, допускающей непрерывную группу бирациональных $\bb C$-автоморфизмов, размерность которой совпадает с числом трансцендент, вводимых интегрированием системы.}

Как известно, группа автоморфизмов произвольной алгебраической кривой порядка $n$ конечна (см., напр., \cite{Chebotarev}), таким образом в предложенной версии теории Галуа аналогом разрешимой группы среди конечных групп выступает непрерывная группа автоморфизмов среди автоморфизмов алгебраических многообразий. Описание многообразий над $\bb C$, допускающих бесконечные группы бирациональных автоморфизмов, было предметом многочисленных изысканий итальянских геометров \cite{EMW}, no. 39, \cite{Enriquae-1946},\cite{Prochorov}, путь к приложению которых в теории дифференциальных уравнений открывает доказанная теорема. 

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Adlaj} {\em J.M. Borwein} and {\em R.E. Crandall}. Closed Forms: What They
Are and Why We Care // Notices of the AMS. Vol. 60, Number 1. January 2013. Pag. 50-65.
\bibitem{Singer-1} {\em Singer M.F.} Liouvillian first integral of differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 333, no. 2, 673-688 (1992)
\bibitem{Singer-2} {\em Guy Casale.} Liouvillian first integrals of differential equations // Banach Center Publ. 94, 153-161 (2011)
\bibitem{Moses}  {\em Moses, Joel.} Symbolic Integration. AI Technical Reports, 1967.
\bibitem{Terrab-0} {\em Cheb-Terrab E.S., Duarte L.G.S. and da Mota L.A.C.P.} Computer Algebra Solving of First Order ODEs Using Symmetry Methods. // Computer Physics Communications, 101, 254.
\bibitem{Terrab-1} {\em E.S. Cheb-Terrab, A.D. Roche.}  Symmetries and First Order ODE patterns. Computer Physics Communications 113, 239 (1998).
\bibitem{Terrab-2} {\em E.S. Cheb-Terrab, A.D. Roche.} Integrating factors for second order ODEs // Journal of Symbolic Computation, V. 27, No. 5, pp. 501-519 (1999).
\bibitem{Cheb-Terrab} {\em E.S. Cheb-Terrab, T. Kolokolnikov}. First order ODEs, Symmetries and Linear Transformations // European Journal of Applied Mathematics, July 2000. 
\bibitem{Morduhaj} {\em Мордухай-Болтовской Д.Д.} Комментарии к Евклиду. // Начала Евклида. Кн. 1-6. М., 1955.

\bibitem{Kudryashov} {\em Кудряшов Н.А.} Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. М., 2002. 
\bibitem{Its} {\em А. Р. Итс , А. А. Капаев, В. Ю. Новокшенов, А. С. Фокас}.  Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана. М.-Ижевск: R \& C, 2005
\bibitem{Sobolevski} {\em C. Л. Соболевский.} Подвижные особые точки решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, БГУ, 2006.
\bibitem{Golubev} {\em Голубев В.В.} Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 
\bibitem{Schlesinger} {\em Schlesinger L.} Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Leipzig: VWV, 1922.
\bibitem{Parfentiev} {\em Парфентьев Н.Н.} Отзыв о работе проф. Шлезингера из Гиссена // Извести физ.-мат. общества при имп. казанском университете. 2-я сер., т. XVIII, № 4. 1912. 
\bibitem{Painleve} {\r Painlev\'{e} P.} Le\c{c}ons sur la theorie analytique des equations differentielles. Paris, 1897 = {\OE}uvres. T. 1. Paris, 1971
\bibitem{Painleve-1890} {\r Painlev\'{e} P.} Memoire sur les equations differentielles du primier ordre // {\OE}uvres. T. 2. Paris, 1974. Pag. 237-461.
\bibitem{Boutrou} {\r Painlev\'{e} P.} Приложение к книге P. Boutroux // {\OE}uvres. T. 2. Paris, 1974. P. 767-813.
\bibitem{mal} {\r Боголюбов А.Н., Малых М.Д.} Трансцендентные функции, вводимые интегрированием дифференциальных уравнений // Динамика сложных систем — XXI век. №3 за 2010 г. 

\bibitem{Koe-1} {\r Koenigsberger L.} Lerbuch der Theorie der Differentialgleichungen mit einer unabh\"{a}gigen Variabeln. Leipzig: Tuebner, 1889.
\bibitem{Koe-2} {\r Koenigsberger L.} Die Principien der Mechanik. Leipzig: Tuebner, 1901.
\bibitem{Josef} {\r Виноградов А.М., Красильщик И.С.} (ред.) Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. М.: Факториал, 1997.
\bibitem{Hartshorn} {\r Хартсхорн Р.} Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.
\bibitem{Zar} {\r Зарисский О., Самюэль П.} Коммутативная алгебра (в 2-х томах). М., ИЛ, 1963.

\bibitem{Maclagan-Sturmfels} Introduction to Tropical Geometry by Diane Maclagan and Bernd Sturmfels. //  \href{http://homepages.warwick.ac.uk/staff/D.Maclagan/papers/TropicalBook.html}{homepages.warwick.ac.uk}, ver. of 23 August, 2013.
\bibitem{Siegel} {\em Зигель К.} Лекции по небесной механике. 

\bibitem{Liouville} {\r Liouville J.} Mémoire sur l’intégration d’une classe de fonctions transcendantes // J. Reine Angew. Math. Bd. 13, p. 93-118. (1835)
\bibitem{Ritt} {\r Ritt J.F.} Integration in Finite Terms. N.-Y., 1949
\bibitem{Hovanski} {\r Хованский А. Г.} Топологическая теория Галуа. Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде. М.: Изд-во МЦНМО, 2008.
\bibitem{Trocki} {\em Manuel Bronstein.} Symbolic Integration I: Transcendental Functions (Algorithms and Computation in Mathematics). Vol. 1. Springer, 1999. 

\bibitem{Chebotarev} {\em Чеборарев Н.Г.} Теория алгебраических функций. М.: УРСС, 2013.
\bibitem{EMW} {\em Castelnuovo G., Enriques F.} Die algebraischen Flächen vom Gesichtspunkte der birationalen Transformationen aus. // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Band III, 2. Teil. C. Algebraische Geometrie. Leipzig: Teubner, 1903-1932.
\bibitem{Enriquae-1946} {\em Enriques F.} Le superficie algebriche. Bologna, 1946.
\bibitem{Prochorov} {\em  Прохоров Ю. Г.} Группа Кремоны и ее подгруппы // Заседания Московского математического общества, 26 марта 2013 г. 
\end{thebibliography}

\end{document}

