% ------------------------------------------------------------------------
% (c) 2015 г. Малых М.Д.
% ------------------------------------------------------------------------
% http://malykh.wiki-site.com
% e-mail: malykh1979@post.ru
% ------------------------------------------------------------------------
% Version: 1.0
% ======
% 
% ------------------------------------------------------------------------
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}  
\usepackage[english,german,russian]{babel}
\usepackage{sagetex}
\usepackage{misccorr}


\title{О группах автоморфизмов кривых рода $p>1$}
\author{М. Д. Малых}
%\date{} 
%Информация для свойств pdf-файла:
\usepackage[pdfpagemode=UseNone, unicode=true, pdfstartview=FitH]{hyperref}
\hypersetup{
pdftitle={О приближенном решении ...}, 
pdfsubject={Статья}, 
pdfkeywords={Painleve property, Sage}, 
pdfauthor={Malykh M.D.}, 
baseurl={}
}

%Параметры страницы 
\textheight 24 true cm
\textwidth 16.5 true cm
\hoffset -10 true mm
\voffset -25 true mm
\unitlength=1mm
\renewcommand{\baselinestretch}{1.25}
\sloppy
\frenchspacing

%Пакеты
\usepackage[centertags]{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%\usepackage{tikz}
\usepackage{longtable}
\usepackage{multirow}
%\usepackage[notref]{showkeys}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{makeidx}
\makeindex

\def\g{\mathfrak}
\def\phi{\varphi}
\def\Phi{\varPhi}
\def\epsilon{\varepsilon}
\def\bb{\mathbb}
\newcommand{\ord}[1]{\mbox{ord}\left({#1}\right)}
\renewcommand{\f}[1]{\overline{#1}}
\def\WLambert{\operatorname{WLambert}}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem{Anm}{\rm \bf Замечание}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{Def}{\rm \bf Определение}
\newtheorem{Ax}{\rm \bf Требование}
\newtheorem{Theorem}{\rm \bf Теорема}
\newtheorem{Folderung}{\rm \bf Следствие}
\newtheorem{Ex}{\rm \bf Пример}
\newtheorem{Aufgabe}{\rm \bf Задача}
\newtheorem{Algo}{\rm \bf Алгоритм}

%Мат. символы:
\def\r{}
\def\g{\mathfrak}
\def\bb{\mathbb}
\def\phi{\varphi}
\def\epsilon{\varepsilon}
\def\theta{\vartheta}
\def\ord{\mbox{ст.~}}
\def\bir{\operatorname{Bir}}
\def\Gl{\operatorname{Gl}}
\def\diag{\operatorname{diag}}


\begin{document}\large\maketitle

%%%%Оглавление%%%%
%\tableofcontents
%%%%Текст%%%%

\section{Введение}
Изыскания относительно устройства группа бирациональных автоморфизмов алгебраических кривых рода $p>1$ были начаты еще во второй половине XIX века, тогда было установлено, что 
\begin{itemize}
\item эта группа "--- конечная и ее порядок не превосходит $82(p-1)$ (Hurwitz, 1893),
\item порядок каждого автоморфизма не превосходит $2(2p+1)$ (Wiman, 1895).
\end{itemize}
Первый пример кривой, группа автоморфизмов которой имеет максимально допустимый порядок $82(p-1)$, был указан Клейном, это квартика
\[
x^3y+y^3+x=0 
\]
рода $p=3$. Позже было установлено, что среди кривых рода $p=2m^6+1$ можно указать и такие, которые имеют максимально возможный порядок $82(p-1)$ (Macbeath, 1960). С другой стороны, среди кривых рода $3$ имеются и такие, которые не допускают нетривиальных автоморфизмов (Walter L. Baily, 1961).  Наконец, автоморфизм максимально возможно порядка имеет гипрэллиптическая кривая
\[
y^2=x(x^{2p+1}-1).
\]  

Задача о вычислении группы бирациональных автоморфизмов заданной алгебраической кривой средствами компьютерной алгебры была поставлена еще в 1990-х годах, однако оказалась на удивление сложной: 
\begin{quote}
However, it is not an easy task to compute the automorphism group of a given
algebraic curve. Even compiling a list of possible candidates for a small genus $g$ is quite difficult. In {\em Magaard} et all., 2003 we provide an algorithm which computes such lists. We give a complete list for $g = 3$ and list <<large>> groups for $g \leq 10$. This work is based on previous work of Breuer, among many others. "--- Tanush Shaska, 2003.
\end{quote}
Трудность задачи заставила авторов обратиться к простейшим случаям, в особенности к гиперэллиптичесим кривым. Хотя вычислительные трудности постоянно подталкивали этих исследователей к привлечению систем компьютерной алгебры, в нашем распоряжении нет свободного пакета, позволяющего вычислить группу авторфизмов заданной кривой, а, вероятно, и алгоритма, годного для всех кривых. 
Последнее особенно удивительно, поскольку в редко цитируемой работе Гурвица (Hurwitz, 1887), предшествующей всеми поминаемой работе 1893 года, имеются размышления, которые можно превратить в таковой. Перескажем эту работу современным языком. 

\section{Гомоморфизм Гурвица}

Пусть $F$ "--- произвольная плоская алгебраическая кривая рода $p>1$, заданная в некоторой декартовой системе координат уравнением 
\[
F(x,y)=0
\]
с рациональными коэффициентами, и пусть $\bir(F)$ "--- группа бирациональных автоморфизмов этой кривой. Обозначим как 
\[
H_1(x,y)dx, \dots, H_p(x,y)dx
\]
базис линейного пространства $L$ дифференциалов, всюду конченых на $F$. Для любого автоморфизма $T$ из $\bir(F)$ абелев интегралы
\[
\int \limits_{O}^{T(x,y)}H_i(\xi,\eta)d\xi
\] 
как функции точки $(x,y)$ на $F$ является всюду конченым, поэтому 
\[
\int \limits_{O}^{T(x,y)}H_i(\xi,\eta)d\xi = \sum \limits_{j=1}^p \pi_{ij} \int \limits_{O}^{(x,y)}H_j(\xi,\eta)d\xi + \pi_i  \quad (i=1,\dots, p),
\]
где матрица $\pi_{ij}$ и столбец $\pi_i$ зависят от $T$, но не от $x$ и $y$. Сопоставление автоморфизму $T$ матрицы $\pi(T)$ задает гомоморфизм 
\[
\bir(F) \rightarrow \Gl(p,\bb C).
\]
В работе Гурвица исследуются свойства этого гомоморфизма, который мы далее будем назвать гомоморфизмом Гурвица. 

\begin{Theorem}[Hurwitz, 1887]\label{th:Hurwitz}
Если род $p$ кривой $F$ больше единицы, то гомоморфизм Гурвица является мономорфизмом, то есть
\[
0 \rightarrow \bir(F) \rightarrow \Gl(p,\bb C),
\]
причем матрица, служащая образом любого автоморфизма, приводится к диагональной матрице, на главной диагонали которой стоят корни из единицы, то есть  
\[
T\sim \diag(\epsilon_1, \dots, \epsilon_p), \quad \epsilon_j=\sqrt{1}.
\]
\end{Theorem}

Мы приведем здесь ее доказательство, поскольку используемая в нем конструкция и позволит вычислить группу автоморфизмов. 

\begin{proof}
Первое утверждение сразу получается из теоремы Абеля. В самом деле, пусть $T$ переходит в единичную матрицу, тогда
\[
\int \limits_{(x,y)}^{T(x,y)}H_i(\xi,\eta)d\xi = \pi_i \quad (i=1,\dots, p). 
\]
Тогда для любых двух точек $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ справедливо равенство
\[
\int \limits_{(x_1,y_1)}^{T(x_1,y_1)}H_i(\xi,\eta)d\xi + \int \limits_{(x_2,y_2)}^{T^{-1}(x_2,y_2)}H_i(\xi,\eta)d\xi = 0 \quad (i=1,\dots, p),
\]
которое в силу теоремы Абелея означает, что существует рациональная функция 2-ой степени, полюсами которой служат эти две точки. Но это означает, что род кривой против предположения строго меньше 2.  

Для доказательства второго, приведем матрицу $\pi$ к Жордановой форме. Для краткости обозначим штрихом образ элемента под действием преобразования $T$.  При надлежащем выборе базиса пространства $L$, можно принять, что 
\[
\left \{
\begin{aligned}
& H_1'dx' = \epsilon_1 H_1dx \\
& H_2'dx' = \epsilon_2 H_2dx + \eta H_1dx \\
& \dots
\end{aligned}
\right.
\]
Здесь $\epsilon_1, \dots$ "--- собственные значения матрицы $\pi$, а число $\eta$ равно нулю, если $\epsilon_2 \not = \epsilon_1$. Зная базис, можно подобрать две рациональные функции, которые при преобразовании $T$ испытывают линейную подстановку. Именно, возьмем 
\[
z = \frac{H_2dx}{H_1dx}, \quad s = \frac{H_1dx}{dz},
\]
тогда 
\[
z' = \frac{H_2'dx'}{H_1'dx'} = \frac{\epsilon_2 H_2dx + \eta H_1dx}{\epsilon_1 H_1dx} = \alpha z + \beta
\]
и
\[
s'= \frac{H_1'dx'}{dz'} = \frac{\epsilon_1 H_1dx}{adz} = \gamma s',
\]
где 
\[
\alpha = \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}, \quad \beta = \frac{\eta}{\epsilon_1}, \quad \gamma = \frac{\epsilon_1^2}{\epsilon_2}.
\]
Эти две функции на кривой связаны некотором неприводимым соотношением
\[
G(s,z)=0,
\]
род которого строго больше нуля, поскольку 
\[
\int s dz = \int H_1dx
\]
является интегралом 1-го рода на $G$. Под действием преобразования $T$, нуль переходит в нуль, поэтому
\[
0=TG(s,z)=G(\gamma s,\alpha z+\beta).
\]
Это означает, что равенство 
\[
G(\gamma s,\alpha z+\beta) = 0
\]
справедливо во всех комплексных точках кривой $G(s,z)=0$, и поэтому 
\[
G(\gamma s,\alpha z+\beta) = \mbox{const.} G(s,z)
\]
как полиномы двух переменных. 

Если $\beta \not =0$, то $a=\frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}=1$, поэтому
\[
G(\gamma s,z+1) = \mbox{const.} G(s,z).
\] 
Коэффициент при $i$-ой степени $s$ тогда удовлетворяет тождеству
\[
\phi_i(z+1)=\mbox{const.} \phi_i(z).
\]
Если $i$-ый коэффициент зависит от $z$, то $\phi_i(z)=0$ имеет хотя бы один корень, а следовательно и бесконечно много, что невозможно. Поэтому коэффициенты $G$ при всех степенях $s$ не зависят от $z$ и уравнение сводится к $G(s)=0$, что невозможно. Поэтому всегда $\beta=0$, то есть матрицу преобразования всегда можно привести к диагональному виду. 

Обратимся теперь у соотношению 
\[
G(\gamma s,\alpha z) = \mbox{const.} G(s,z).
\]
Подстановка увеличивает коэффициент при $s^\nu z^\mu$ на $\gamma^\nu \alpha^\mu$, поэтому
\[
\gamma^\nu \alpha^\mu = \gamma^{\nu'} \alpha^{\mu'}
\]
для всех степеней, входящих в $G$ с ненулевыми коэффициентами. Отсюда
\[
\gamma^{\nu-\nu'} = \alpha^{\mu-\mu'}.
\]
Поэтому можно подобрать такое комплексное число $t$, что 
\[
\gamma = t^q, \quad \alpha = t^r, 
\]
где $q$ и $r$ обозначают некоторые целые числа. Если $t$ не является корнем из единицы, то 
\[
t^{q\nu + r\mu} = t^{q\nu' + r\mu'}
\]
влечет
\[
q\nu + r\mu=q\nu' + r\mu.
\]
В этом случае, все решения уравнения $G(s,z)=0$ можно выразить через одно $(s_0,z_0)$, положив
\[
\begin{cases}
s=s_0 \lambda^q, \\
z=z_0 \lambda^r, 
\end{cases}
\]
где $\lambda$ "--- параметр. Таким образом кривая $G$ допускает рациональную параметризацию, и поэтому ее род равен нулю, что невозможно. Таким образом, $t$ "--- обязательно корень из единицы. Остается заметить, что в таком случае
\[
\epsilon_1 = \alpha \gamma =t^{q+r}, \quad \epsilon_2=\alpha \epsilon_1
\] 
тоже являются корнями из единицы. Итак,
\[
\pi \sim \diag(\epsilon_1, \dots, \epsilon_p),
\]
где $\epsilon_i$ "--- корни из единицы. 
\end{proof}

Гурвиц далее употребляет эту теорему как вспомогательное средство для получения оценок на порядки элементов. Однако сама теорема много интереснее этих приложений, которые теперь получают иначе и проще. 

\section{Уравнение Гурвиуп}

Пусть нам задана кривая 
\[
F(x,y)=0
\]
с рациональными коэффициентами. Мы можем вычислить ее род и некоторый базис пространства дифференциалов, всюду конечных на $F$, напр., в пакете \verb|Algcurves| в системе Maple.

Введем два набора $a_1, \dots, a_p$ и $b_1, \dots, b_p$ новых переменных и положим, как и в доказательстве теоремы Гурвица 
\[
z = \frac{\beta_1 H_1+\dots +\beta_p H_p}{\alpha_1 H_1+\dots +\alpha_p H_p}, \quad s = \frac{(\alpha_1 H_1+\dots +\alpha_p H_p)dx}{dz}.
\]
Как известно, базис составляют элементы вида 
\[
H_idx = \frac{Q_i}{\frac{\partial F}{\partial y}}dx, \quad (i=1,\dots, p)
\]
где $Q_i$ "--- многочлен относительно $x$ и $y$, задающий сопряженную кривую к $F$.
Поэтому, воспользовавшись  формулой 
\[
\frac{dz}{dx}= \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial x}: \frac{\partial F}{\partial y},
\]
эти формулы можно существенно упростить:
\begin{equation}\label{eq:sz}
z = \frac{\beta_1 Q_1+\dots +\beta_p Q_p}{\alpha_1 Q_1+\dots +\alpha_p Q_p}, \quad s = \frac{\alpha_1 Q_1+\dots +\alpha_p Q_p}{\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial x}}.
\end{equation}
Исключая $x,y$ из системы
\[
\begin{cases}
(\alpha_1 Q_1+\dots +\alpha_p Q_p)z = \beta_1 Q_1+\dots +\beta_p Q_p,\\
\left(\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial x} \right) s = \alpha_1 Q_1+\dots +\alpha_p Q_p, \\
F(x,y)=0,
\end{cases}
\]
получим уравнение
\[
G(s,z;\alpha_1, \dots, \beta_p)=0,
\]
которое дальше будем называть общим уравнением Гурвица. В некоторых особых случаях, числители и знаменатели функций $z$ и $s$ имеют общие нули, и поэтому система совместна при всех значениях $s$ и $z$. Во избежании этих трудностей, примем след.:

\begin{Def}
Уравнением Гурвица будем называть неприводимое уравнение, которому удовлетворяют функции $s$ и $z$, заданные формулами \eqref{eq:sz}, на открытом в топологии Зариcского подмножестве кривой $F$. 
\end{Def}

Теоретически, используя технику исключающих идеалов, можно составить уравнения Гурвица для любой заданной кривой. С этой целью мы зададим в Sage функцию \verb|hurwitz_equation(F,V1,V2)|, аргументами которой служит левая часть уравнения нашей кривой, $V_1=\sum a_i Q_i$ и $V_2=\sum b_i Q_i$:

{\small
\begin{sageblock}
 def hurwitz_equation(F,V1,V2):
    Z=V2/V1
    S=V1/(diff(Z,x)*diff(F,y)-diff(Z,y)*diff(F,x))
    Gz=(A*[z*denominator(Z)-numerator(Z),F]).elimination_ideal(y).gen(0)
    Gs=(A*[s*denominator(S)-numerator(S),F]).elimination_ideal(y).gen(0)
    if gcd(Gz,Gs) in CC:
        I=A*[z*denominator(Z)-numerator(Z),s*denominator(S)-numerator(S),F]
        G=I.elimination_ideal([x,y]).gen(0)
    else:
        I=(A*[Gz/gcd(Gz,Gs),Gs/gcd(Gz,Gs)]).elimination_ideal(x)
        G=I.gen(0)	
    GG=list(factor(G))[len(list(factor(G)))-1][0]
    return GG
	
\end{sageblock}
}
\begin{sagesilent}
 def hurwitz_diagram(F,V1,V2):
    l=hurwitz_equation(F,V1,V2).exponents()
    ll=[]
    for n in range(0,len(l)): 
        ll.append([l[n][2],l[n][3]])	
    return point(ll,axes_labels=['deg. $z$','deg. $s$'],size=100)

\end{sagesilent}

\begin{Ex}\label{ex:1}
Воспользовавшись пакетом \verb|Algcurves|, легко видеть, что кривая
\begin{equation}\label{eq:ex:1}
x^3y+x^2+y^2+1 =0
\end{equation}
имеет род 2, а базисом пространства дифференциалов 1-го типа служат
\[
\frac{dx}{x^3+2y}, \quad \frac{xdx}{x^3+2y},
\]
в их числителе которых стоят многочлены 
\[
Q_1=1, \quad Q_2=x.
\]
\begin{sagecommandline}
sage: A.<x,y,z,s,a1,a2,b1,b2>=PolynomialRing(QQ,4+4)
sage: F=x^3*y+x^2+y^2+1
sage: hurwitz_equation(F,a1+a2*x,b1+b2*x)
\end{sagecommandline}
Для наглядности составим для него диаграмму Ньютона, которую будем назвать диаграммой Гурвица для  кривой \eqref{ex:1}, см. рис. \ref{d:1}. Процесс исключения переменных "--- трудоемкий, поэтому предусмотрена возможность составить частное уравнение Гурвица, минуя составление общего. Напр., 
\begin{sagecommandline}
sage: A.<x,y,z,s,a1,a2,b1,b2>=PolynomialRing(QQ,4+4)
sage: F=x^3*y+x^2+y^2+1
sage: hurwitz_equation(F,1,x)
\end{sagecommandline}
\end{Ex}
\begin{figure}\label{d:1}
\center{\sageplot[width=0.6\textwidth]{hurwitz_diagram(F,1+a2*x,b1+x)}}
\caption{Диаграмма Гурвица для кривой \eqref{eq:ex:1}.} 
\end{figure}

Среди уравнений небольших степеней, к сожалению, имеются и такие, для которых составить общее уравнение Гурвица не удается. 

\begin{Ex}\label{ex:y3+x4+x2}
Вероятно простейшим из них является 
\[
y^3+x^4+x^2=0.
\]
Это уравнение задает кривую рода 2, 
\[
Q_1=x, \quad Q_2=y;
\]
упоминается в справке к пакету Algcurves как пример кривой с явно вычисляемой матрицей Римана. Для этой кривой составить общее уравнение Гурвица не удается, а в частных уравнения  получаются на удивление большие числовые коэффициенты:
\begin{sagecommandline}
sage: A.<x,y,z,s>=PolynomialRing(QQ,4)
sage: F=y^3+x^4+x^2
sage: hurwitz_equation(F,x+2*y,63*x+y).coefficient({s:0,z:0})
sage: hurwitz_equation(F,x+2*y,63*x+y).coefficient({s:2,z:0})
\end{sagecommandline}
\end{Ex}

\section{Отыскание автоморфизмов заданной кривой при помощи общего уравнения Гурвица}

Если кривая $F$ допускает автоморфизм $T \sim \diag(\epsilon_1, \epsilon_2, \dots)$, то в некотором базисе пространства всюду конченых дифференциалов образ $T$ будет диагональной матрицей, то есть
\[
H_i'(x',y')dx'=\epsilon_i H_i'(x,y)dx \quad (i=1,\dots, p)
\]
Приняв в качестве значения параметров $a_1, \dots, b_p$ такие числа, что
\[
\begin{aligned}
H_1'(x,y)dx & = a_1 H_1(x,y)dx+\dots + a_p H_p(x,y)dx \\
H_2'(x,y)dx & = b_1 H_1(x,y)dx+\dots + b_p H_p(x,y)dx \\
\end{aligned}
\]
мы получим частное уравнение Гурвица, которое, как видно из доказательства теоремы \ref{th:Hurwitz}, должно удовлетворять соотношению
\[
G(\gamma s,\alpha z) = \mbox{const.} G(s,z).
\]
Отсюда:

\begin{Theorem}
Если кривая $F$ допускает автоморфизм $T \sim \diag(\epsilon_1, \epsilon_2, \dots)$, то параметры $\alpha_1, \dots, \beta_p$ можно подобрать таким образом, чтобы частное уравнение Гурвица удовлетворяло тождеству 
\begin{equation}\label{eq:Gsz}
G(\gamma s,\alpha z) = \delta G(s,z),
\end{equation}
где
\[
\alpha = \frac{\epsilon_2}{\epsilon_1}, \quad \gamma = \frac{\epsilon_1^2}{\epsilon_2},
\]
а $\delta$ "--- произведение некоторых степеней $\epsilon_1$ и $\epsilon_2$. 
\end{Theorem}

Эту теорему нетрудно превратить в алгоритм отыскания автоморфизмов заданного порядка. 

\begin{Algo}
Чтобы получить список автоморфизм заданного порядка $N$ заданной кривой $F(x,y)=0$, следует:
\begin{enumerate}
\item вычислить ее род $p$ и базис пространства дифференциалов $Q_1, \dots Q_p$;
\item составить общее уравнение Гурвица $G(s,z;a_1, \dots, b_p)=0$;
\item приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $s$ и $z$ в левой и правой частях равенства \eqref{eq:Gsz} и получить систему (S) для отыскания параметров;
\item перебрать все возможные комбинации значений $\epsilon_1, \epsilon_2$ и $\delta$ среди корней $N$-го порядка и выписать все случаи, когда система (S) совместна и дает линейно независимые $\sum a_i Q_i(x,y)$ и $\sum b_i Q_i(x,y)$;
\item для каждого из указанных случаев проверить, задает ли система 
\[
\begin{cases}
\frac{\sum a_i Q_i(x',y')dx'}{F_y(x',y')} = \epsilon_1 \frac{\sum a_i Q_i(x,y)dx}{F_y(x,y)},\\
\frac{\sum b_i Q_i(x',y')dx'}{F_y(x',y')} = \epsilon_2 \frac{\sum b_i Q_i(x,y)dx}{F_y(x,y)},\\
\end{cases}
\]
автоморфизм порядка $N$. Неподходящие случаи исключить из составленного списка. 
\end{enumerate}
\end{Algo}

Чтобы вычислить всю группу автоморфизмов заданной кривой, достаточно  по заданному алгоритму отыскать все автоморфизмы до $2(2p+1)$ порядка включительно. 

Дабы не испытывать известные трудности при манипулировании с однородными идеалами, заметим следующее. Поскольку базис пространства всюду конечных дифференциалов, в котором матрица $\pi(T)$ имеет диагональный вид, определен с точностью до перестановки элементов и умножения их на число,  не ограничивая общности рассмотрения, можно взять $\alpha_1=\beta_2=1$ и тем самым перейти от однородных координат к аффинным. 

При $p=2$ это означает, что мы ограничимся дифференциалами
\[
(Q_1+\alpha Q_2)\frac{dx}{F_y}, \quad (\beta Q_1+ Q_2)\frac{dx}{F_y}.
\]
При этом замена $\alpha=\frac{1}{\beta'}$ и $\beta=\frac{1}{\alpha'}$ дает дифференциалы, отличающиеся на постоянный множитель, поэтому под действием $T$ они испытывают тоже умножение на $\epsilon_i$. Наконец, случай, когда $\alpha\beta=1$ следует исключить из рассмотрения, поскольку тогда получаются линейно зависимые дифференциалы. Поскольку во всех рассматриваемых ниже примерах равенство $\delta =1$ было очевидно, мы не стали реализовать перебор по этой переменной и описали 3-ий пункт алгоритма так:

{\small
\begin{sageblock}
 def hurwitz_untrivial2(l):
    ll=[]
    for n in range(0,len(l)):
        if a.subs(l[n][0])*b.subs(l[n][1])!=1:
            ll.append(l[n])
    return ll
	
 def hurwitz_solution(G,e1,e2,e3):
    a,b=var('a,b')
    alpha=e2/e1
    gamma=e1^2/e2
    l=G.exponents()
    eq=[G.coefficient({z:l[n][2],s:l[n][3]})*(alpha^(l[n][2])*gamma^(l[n][3])-e3) for n in range(len(l))]
    return hurwitz_untrivial2(solve(eq,[a,b]))
	
 def hurwitz_transformation(G,N):
    n,m=var('n,m')
    eps=exp(2*pi*i/N)
    l=[]
    for n in range(N):
        for m in range(N):
            solution=hurwitz_solution(G,eps^n,eps^m,1)
            if solution != []:
                l.append([eps^n,eps^m,solution])
    return l	
	
\end{sageblock}
}

Рассмотрим подробно один простой пример. 

\begin{Ex}\label{ex:y2=x(x2-1)(x2-4)}
Гиперэллиптическая кривая
\begin{equation}\label{eq:y2=x(x2-1)(x2-4)}
y^2=x(x^2-1)(x^2-4)
\end{equation}
имеет род 2, а базисом пространства дифференциалов 1-го типа служит
\[
\frac{dx}{y}, \quad \frac{xdx}{y};
\]
в их числителе стоят многочлены 
\[
Q_1=1, \quad Q_2=x.
\]
Составим для этой кривой общее уравнение Гурвица:
\begin{sagecommandline}
sage: A.<x,y,z,s,a,b>=PolynomialRing(QQ,4+2)
sage: F=y^2-x*(x^2-1)*(x^2-4)
sage: G=hurwitz_equation(F,1+a*x,b+x)
\end{sagecommandline}
\begin{figure}\label{d:hiperell}
\center{\sageplot[width=0.8\textwidth]{hurwitz_diagram(F,1+a*x,b+x)}}
\caption{Диаграмма Гурвица для кривой $y^2=x(x^2-1)(x^2-4)$.} 
\end{figure}
Мы не стали выводить на печать это весьма длинное уравнение, структуру которого проще понять, взглянув на диаграмму \ref{d:hiperell}.

Свободный член уравнения Гурвица равен
\begin{sagecommandline}
sage: G.coefficient({z:0,s:0}).factor()
\end{sagecommandline}
и потому он обратится в нуль лишь тогда, когда $ab=1$. Этот случай мы должны исключить из рассмотрения, поэтому равенство
\[
G(\gamma s,\alpha z;a,b) = \delta G(s,z;a,b)
\]
может выполняться тождественно по $s$ и $z$ лишь в том случае, когда $\delta =1$. 

Отыщем преобразования второго порядка:
\begin{sagecommandline}
sage: hurwitz_transformation(G,2)
\end{sagecommandline}
Первое из названных преобразований, эквивалентно $E$, а потому является тождественным преобразованием, исключаем его из списка. Последнее преобразование эквивалентно $-E$, эта матрица в любом базисе будет диагональной, поэтому и получилось, что $a$ и $b$  могут быть любыми. Взяв $a=b=0$, имеем
\[
\begin{cases}
\frac{dx'}{y'}=-\frac{dx}{y},\\
\frac{x'dx'}{y'}=-\frac{xdx}{y},\\
\end{cases}
\]
откуда 
\[
x'=x, \quad y'=-y.
\]
Это преобразование действительно является автоморфизмом кривой \eqref{eq:y2=x(x2-1)(x2-4)} порядка 2. 

Обратимся теперь к преобразованиям, эквивалентным $\diag(1,-1)$. Первое из них дает  
\[
\begin{cases}
\left(1+ \frac{x'}{\sqrt{2}} \right) \frac{dx'}{y'} = \left(1+ \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \frac{dx}{y}\\
\left(x'-\sqrt{2} \right) \frac{dx'}{y'} = -\left(x-\sqrt{2}\right) \frac{dx}{y}\\
\end{cases}
\]
Поделив первое уравнение на второе, получим
\[
\frac{x'+\sqrt{2}}{x'-\sqrt{2}} = \frac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}
\]
или
\[
x'=\frac{2}{x}.
\]
Это преобразование оси $Ox$ можно продолжить до двух автоморфизмов кривой. В самом деле, подставляя это выражение вместо $x'$ в соотношение 
\[
y'{}^2=x'(x'{}^2-1)(x'{}^2-4),
\]
получим
\[
y'{}^2= \frac{8(4-x^2)(1-x^2)}{x^5} = \frac{8y^2}{x^6}.
\]
Поэтому два преобразования 
\[
\begin{cases}
x'=\frac{2}{x},\\
y'=\pm \frac{2\sqrt{2}y}{x^3}
\end{cases}
\]
действительно задают автоморфизмы кривой порядка 2, эквивалентные $\diag(1,-1)$ и $\diag(-1,1)$.

Второй набор значений отличается от первого знаком и не дает ничего нового, исключаем его из списка. 

Третий набор дает 
\[
\begin{cases}
\left(1- \frac{i x'}{\sqrt{2}} \right) \frac{dx'}{y'} = \left(1 - \frac{ix}{\sqrt{2}} \right) \frac{dx}{y}\\
\left(x'-i\sqrt{2} \right) \frac{dx'}{y'} = -\left(x-i\sqrt{2}\right) \frac{dx}{y}\\
\end{cases}
\]
У нас действительно имеются такие преобразования:
\[
\begin{cases}
x'=-\frac{2}{x},\\
y'=\pm \frac{2\sqrt{2}i y}{x^3},
\end{cases}
\]
эквивалентные $\diag(1,-1)$ и $\diag(-1,1)$.

Четвертый набор опять не дает нового преобразования. 

Преобразования, эквивалентные $\diag(1,-1)^2$, мы уже получили как квадраты двух найденных преобразований. 

Преобразований третьего порядка нет:
\begin{sagecommandline}
sage: hurwitz_transformation(G,3)
\end{sagecommandline}
В списке возможных преобразований 4-го порядка:
\begin{sagecommandline}
sage: hurwitz_transformation(G,4)
\end{sagecommandline}
имеются только два, порядок которых равен 4, а не 2, это преобразование $\sim \diag(i,i)$ и его куб. Это преобразование, если оно и правда имеется, дается формулами
\[
\begin{cases}
\frac{dx'}{y'} = i\frac{dx}{y}\\
\frac{x'dx'}{y'} = -i\frac{xdx}{y}\\
\end{cases}
\]
откуда 
\[
x'= -x, \quad y'=iy.
\] 
Разумеется, такое преобразование действительно является автоморфизмом кривой. 

От 5 до 10 нам не попадается ничего нового:
\begin{sagecommandline}
sage: hurwitz_transformation(G,5)
sage: hurwitz_transformation(G,6)
sage: hurwitz_transformation(G,7)
sage: hurwitz_transformation(G,8)
sage: hurwitz_transformation(G,9)
sage: hurwitz_transformation(G,10)
\end{sagecommandline}

Итак, все автоморфизмы кривой \eqref{eq:y2=x(x2-1)(x2-4)} перечислены в таблице:

\begin{tabular}{l|l|l}
\hline
Преобразование & Экв. матрица & Порядок \\
\hline
$x'=x, \, y'=y$ & $\diag(1,1)$ & 1 \\
$x'=x, \, y'=-y$ & $\diag(-1,-1)$ & 2 \\
$x'=\frac{2}{x}, \, y'=\frac{2\sqrt{2}y}{x^3}$ & $\diag(1,-1)$ & 2 \\
$x'=\frac{2}{x}, \, y'=\frac{2\sqrt{2}y}{x^3}$ & $\diag(1,-1)$ & 2 \\
$x'=\frac{2}{x}, \, y'=-\frac{2\sqrt{2}y}{x^3}$ & $\diag(-1,1)$ & 2 \\
$x'=-\frac{2}{x}, \, y'=\frac{2\sqrt{2}iy}{x^3}$ & $\diag(1,-1)$ & 2 \\
$x'=-\frac{2}{x}, \, y'=-\frac{2\sqrt{2}iy}{x^3}$ & $\diag(-1,1)$ & 2 \\
$x'=-x, \, y'=iy$ & $\diag(i,i)$ & 4 \\
$x'=-x, \, y'=-iy$ & $\diag(-i,-i)$ & 4 \\
\end{tabular}

Эта группа порождается двумя элементами
\[
T: \quad x'=-x, \, y'=iy
\] 
и
\[
R: \quad x'=\frac{2}{x}, \, y'=\frac{2\sqrt{2}y}{x^3}
\]
и поэтому ее можно описать так:
\[
\langle T,R \, : \,  T^4= R^2=(TR)^2=(T^{-1}R)^2=E \rangle
\]
 

\end{Ex}



\end{document}



\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Krylov}  {\em Крылов А.Н.} Лекции о приближенных вычислениях. 2-е изд. Л.: АН СССР, 1933. 
\bibitem{Wittich}  {\em  Виттих Г.} Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М., ГИФМЛ, 1969.
\bibitem{Golubev} {\em Голубев В.В.} Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: ГТТЛ, 1950.
\bibitem{Kudryashov} {\em Кудряшов Н.А.} Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. 
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 
\bibitem{Bronstein} {\em M. Bronstein, R. M. Corless, J. H. Davenport, and D. J. Jeffrey}. Algebraic properties of the Lambert W function from a result of Rosenlicht and of Liouville // Integral Transforms and Special Functions 19 (2008), 709–712.
\bibitem{Wanner}  {\em Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г.} Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.
\bibitem{Schlesinger} {\em Schlesinger L.} Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Leipzig: VWV, 1922.
\bibitem{Ablowitz} {\em Ablowitz M.J., Halburd R., and Herbst B.} On the extension of the Painlev\'e property to difference equations// Nonlinearity. Vol. 13 (2000). Pag. 889-905.
\bibitem{Conte} {\em Conte R., Musette M.} The Painlevé Handbook. Jointly published with Canopus Publishing Limited, Bristol, UK, 2008.
\bibitem{Painleve-1} {\em Painlev\'{e} P.} Le\c{c}ons sur la theorie analytique des equations differentielles. Paris, 1897 = {\OE}uvres. T. 1. Paris, 1971
\bibitem{Painleve-2} {\em Painlev\'{e} P.} Memoire sur les equations differentielles du primier ordre // {\OE}uvres. T. 2. Paris, 1974. Pag. 237-461.
\bibitem{Painleve-3} {\em Painlev\'{e} P.} Приложение к книге P. Boutroux // {\OE}uvres. T. 2. Paris, 1974. P. 767-813
\bibitem{mal-1} {\em Боголюбов А.Н., Малых М.Д.} Трансцендентные функции, вводимые интегрированием дифференциальных уравнений // Динамика сложных систем "--- XXI век. №~3 за 2010 г.
\bibitem{mal-2} {\em Малых М.Д.} Об интегралах систем обыкновенных дифференциальных
уравнений, представимых в конечном виде // Вестник РУДН. Сер. математика, информатика, физика. 2014, №~3. Стр. 11-16.
\bibitem{Watson} {\em Ватсон Г.Н.} Теория Бесселевых функций. М., ИЛ, 1949.
\bibitem{Okamoto} {\em Kazuo Okamoto.} Sur les feuilletages associ\'es  aux \'equation du second odre à points critiques fixes de P.~Painlev\'{e}. // Japan. J. Math. Vol. 5, No. 1, 1979. Pag. 1-79.
\bibitem{Prokhorov} {\em  Прохоров Ю.Г.} \href{http://www.mathnet.ru/php/showCImages.phtml?type=presentation&ID=6467}{Группа Кремоны и ее подгруппы} // Заседания Московского математического общества, 26 марта 2013 г.
\end{thebibliography}


\end{document}


