Рис. 1. Чертеж на стр. 46r манускрипта D'Orville 301, Bodleian Library, Oxford.
М.Д. Малых, 2012 г.
Дан краткий обзор возможностей построения чертежей при помощи пакета Geonext, рассказ иллюстрирован видео-примерами. Обсуждены преимущества таких чертежей в сравнении с классическими. Удаленные с Яндекс.Видео файлы доступны на Яндекс.Диске
Рис. 1. Чертеж на стр. 46r манускрипта D'Orville 301, Bodleian Library, Oxford.
Традиция выполнения чертежей в геометрии идет с времен Евклида и не менялась в существенном по крайней мере последнюю тысячу лет. К примеру чертежи в старейшем из сохранившемся манускрипте Начала Евклида, хранящемся сейчас в Bodleian Library [1], выглядят вполне современно.
За этой традицией стоит многовековая практика построений, выполненных как от руки, так и при помощи циркуля и линейки. Качество выполнения чертежей вполне точно характеризуют глубину освоения классического материала в ту или иную эпоху. Напр., при поздних Каролингах в т.н. Геометрии Боэция текст доказательств не приводился, но в манускриптах имелись чертежи с дополнительными построениями [2]. Эти чертежи выполнялись от руки и часто образом, исключающим понимание мысли их автора.
Рис. 2. Чертеж к теореме Пифагора на стр. 28 манускрипта Codex 358(610), Einsiedeln Stiftsbibliothek [3], и современная иллюстрация к Евклидову доказательству теоремы Пифагора.
Развитие книгопечатания не привело к существенному изменению вида чертежей, выполняемых в рукописях при помощи циркуля и линейки. Напротив огромным техническим достижением стало издание Эрхардом Ратдольтом в 1482 году Начал Евклида, воспроизводящее не только текст, но и ставшие классическими чертежи к доказательствам.[4]
Рис. 3. Чертеж с восьмой страницы первого печатного издания Начал Евклида.
Новые технологии, появившиеся в книгопечатании в XIX веке, были использованы всерьез лишь однажды -- в издании Начал, предпринятом Оливером Бирном в 1847 году [5]. Под влиянием Песталоцци Бирн хотел изгнал из геометрии для школьников буквенные обозначения, заменив их цветами. Так, напр., вместо привычных нам углов ABC, BCA появились красный угол, синий угол и проч. В середине XIX века издание книги с таким количеством цветных иллюстраций стало настоящим техническим прорывом, отмеченным премией на Всемирной выставке 1851 года. Однако себестоимость такой книги остановила дальнейшее развитие этой очевидно разумной с методической точки зрения идеи.
Рис. 4. Доказательство теоремы Пифагора в издании Бирна.
Большинство современных изданий задач по геометрии, напр., zadachi.mccme.ru, отдают предпочтение однотонным чертежам с буквенными обозначениями. Таким образом классическая форма геометрического чертежа не подвергалась пересмотру на протяжении нескольких тысяч лет.
С древних времен выполнение меловых чертежей на доске является важной частью лекционного курса геометрии, в т.ч. школьных курсов геометрии и механики и вузовского курса аналитической геометрии. В советские времена употреблялись специальные приборы для выполнения построения мелом на доске, однако далеко не все учителя и почти никто из вузовских лекторов не пользовались ими постоянно.
С появлением интерактивных средств обучения в средней и высшей школе и в первую очередь в связи с приобретением интерактивных досок появилась весьма заманчивая возможность выполнять геометрические чертежи при помощи компьютера. По отзывам учителей это -- один из самых распространенных поводов для использования досок на уроках математики.
С начала 2000-х годов на кафедре математики и методов ее преподавания (Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik) университета Байройта (ФРГ, Бавария) ведется разработка системы динамической геометрии Geonext, которая позволяет выполнять на интерактивной доске построения почти как бумаге, то есть сохраняя у школьника правильное представление о технике геометрического построения при помощи циркуля и линейки. Эта система полностью русифицирована, ориентирована на нужды школы и протестирована на немецких школьниках. Поэтому элементы управления чрезвычайно просты и интуитивно понятны.
Рассмотрим простой пример. На уроке требуется доказать теорему о том, что во всякий треугольник можно вписать окружность. Дабы не иметь проблем с авторским правом, приведем доказательство по Давидову ([10], 105).
1. Разделим два угла A и B треугольника ABC линиями OA и BO пополам, опускаем из точки их пресечения O перпендикуляры OL, OM и ON на стороны треугольника.
2. Прямоугольные треугольники AON и AOL имеют общую гипотенузу и по построению угол LAO равен углу NAO, следовательно, они равны, и поэтому ON=OL.
3. Также прямоугольные треугольники OLB и MOB, имеющие общую гипотенузу OB и равные углы LBO и MBO, равны, и поэтому LO=OM.
4. Из этого следует, что окружность, описанная из точки O радиусом OL, будет касаться всех трех сторон треугольника.
При возникновении затруднений можно обратиться к весьма подробному немецкому руководству [6] или к неофициальному руководству Э. Адеянова [7].
Получившейся в процессе построения чертеж можно сохранить в файл с расширением *.gxt или сохранить как картинку (поддерживаются векторный формат svg и растровый png). Чертежи в формате gxt имеют ряд весьма полезных особенностей.
1. Чертеж можно потянуть за любую точку, при этом биссектриса остается биссектрисой, высота -- высотой и т.д. Это позволяет одним чертежом объять все случаи. Напр., можно быстро показать, что изменится в чертеже, если один из углов треугольника станет тупым.
2. Можно вывести список всех построений, что очень полезно при решении задач на построение. Школьник, даже забыв записать то или иное действие, всегда может подсмотреть шаги построения.
3. Чертеж gxt можно прямо вставлять в html-документы с сохранением их динамичности. Для этого в преамбулу документа следует добавить
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraph.css" />
<script type="text/javascript" src="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/jsxgraphcore.js"></script>
<script type="text/javascript" src="http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/distrib/GeonextReader.js"></script>Затем в теле документа, в том месте, где нужно вставить чертеж, вставляем рамку с идентификатором ris1:
<div id="ris1" class="jxgbox" style="width:500px; height:500px;"></div>Затем вставить в нее файл test.gxt:
<script type="text/javascript">
var brd = JXG.JSXGraph.loadBoardFromFile('ris1', 'test.gxt', 'Geonext');
</script>Разумеется, идентификатор может быть любым, лишь бы он больше не встречался в документе. Простейший пример доступен по ссылке test.html
Евклид, а вслед за ним и школьная геометрия, не всегда следят за тем, все ли возможные случаи взаимного положения точек рассмотрены. На дурно начертанных фигурах точки могут быть расставлены невозможным образом и это может быть источником ошибок.
Докажем, вслед за Клейном [8], при помощи дурного чертежа, что всякий треугольник является равнобедренным след. построением. Для чего в треугольнике ABC проведем биссектрису угла A, а в середине D стороны BC восстанавим перпендикуляр; их пересечение обозначим как O. Кажется, что здесь могут представиться два случая.
1-ый случай: точка O попала внутрь треугольника. Опустим из точки O перпендикуляры OE и OF на стороны треугольника. Поскольку OA -- биссектриса, красные прямоугольные треугольники равны, следовательно OE=OF. Поскольку OD серединный перпендикуляр, зеленые прямоугольные треугольники равны, поэтому OB=OC. Но тогда равны белые прямоугольные треугольники и поэтому BF=EC. Значит, AB=BF+FA=CE+EA=CA, то есть исходный треугольник равнобедренный.
2-случай: точка O попала вне треугольника. Опять опустим из точки O перпендикуляры OE и OF на стороны треугольника. Поскольку OA -- биссектриса, большие зеленые прямоугольные треугольники равны, следовательно OE=OF. Поскольку OD серединный перпендикуляр, маленькие красные прямоугольные треугольники равны, поэтому OB=OC. Но тогда равны прямоугольные треугольники FBO и ECO и поэтому BF=EC. Значит, AB=FA-FB=AE-CE=CA, то есть исходный треугольник равнобедренный.
В действительности, оба рассмотренные случаи невозможны. Сделав чертеж в Geonext обычным путем, мы получим опрятный чертеж.
Отсюда сразу видно, что мы упустили из рассмотрения случай, когда точка O лежит вне треугольника, но один из перпендикуляров пересекает сторону треугольника. Двигая мышкой точки A, B и C, мы сразу видим, что оба рассмотренные случаи невозможны.
Чертежи Geonext избавляют школьную практику от дурной традиции рассматривать один случай, оставляя прочие "на дом". Двигая точки, можно быстро перебрать все возможные случаи взаимного расположения точек и увидеть, что в доказательстве ничего не меняется.
В этом плане весьма показательно доказательство теоремы о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке ([10], 120). Для ее доказательства через вершины треугольника A, B и C проводят прямые, параллельный противолежащим сторонам. Точки пересечения этих трех прямых образуют новый треугольник A'B'C'. Серединные перпендикуляры этого нового треугольника совпадают с высотами треугольника ABC и они, очевидно, пересекаются в одной точке O -- центре описанной около него окружности. Точка O всегда лежит внутри нового треугольника, но ее положение относительно старого треугольника может быть любым -- в этом легко убедится двигая точку C на чертеже. На следующее из параллельности прямых равенство AC=C'B=BA' это не влияет и поэтому доказательство не меняется.
В старых курсах геометрии большое внимание уделяли местам (locus), которые заметали те или иные точки при своем движении.
Напр., пусть задан угол ABC, а концы отрезка DE, имеющего фиксированную длину, могут скользить по сторонам этого угла. Какую кривую описывает точка G, делящая отрезок DE в известном отношении? Geonext позволяет задавать скользящие точки и точки, оставляющие след. Двигая мышкой первые, можно нарисовать кривые, которые описывают вторые. На нашем черт. 6 можно тянуть за точку D и смотреть на пусть точки G (эту последнюю тоже можно передвигать вдоль DE, а также можно как угодно менять угол). Способ создания этого чертежа представлен на след. видео.
Еще большую пользу от применения этой системы могут извлечь слушатели курса проективной геометрии. У Глаголева [9], при объяснении проективного соответствия между прямыми приходилось рисовать стрелочки и словами объяснять, куда какая точка поедет. Для примера на последнем чертеже задано соответствие двух прямых по трем парам соответствующих точек A,A', B,B' и C,C'. Двигая точку D, можно видеть как движется ее образ D'. Меняя взаимное расположение точек A, B и C на прямой, можно увидеть как меняется соответствие.
1. MS D'Orville 301. Bodleian Library, Oxford. Описание манускрипта см. в кн.: Thomas L. Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements, translated from the text of Heiberg, with introduction and commentary.
2. Menso Folkerts. Euclid's Elements in the middle ages. 1989.
3. Codex 358(610) from Einsiedeln Stiftsbibliothek. Beschreibung für e-codices von P. Dr. Odo Lang OSB, www.e-codices.unifr.ch, 2009.
4. Charles Thomas-Stanford. Early editions of Euclid's Elements. London, printed for the bibliographical society. 1926.
5. Oliver Byrne. The Elements of Euclid. London, Wiliam Pickering, 1847.
6. Hartmut Braun. Geonext: eine Einführung. Geonext.uni-bayreuth.de, 2011.
7. Э. Адеянов. Учебное пособие по программе GEONExT. Рига: www.skolas.lv, 2011.
8. Клейн Ф. Элементарная математичка с точки зрения высшей. Т.2. М.-Л.: ОНТИ-ГТТИ, 1934.
9. Глаголев Н.А. Проективная геометрия. Высшая школа. 1963.
10. Давидов А.Ю. Элементарная геометрия. М.: Лисснер и Роман, 1883.
Рис. 2 (правый) выполнен участником Викисклада под ником Sigmanexus6.